Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
slimakslimak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Podziękował: 7 razy

Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz

Post autor: slimakslimak » 15 lis 2017, o 19:00

Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną danego równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ y=x \cdot \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt, \quad xy'=y+x \cdot \sin x}\)

Różniczkując funkcję dostaję: \(\displaystyle{ y'=\sin x+ \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt}\)
Po wstawieniu do równania mam: \(\displaystyle{ y=x+x \cdot \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt}\)
Wiem ze ta całka jest całką nieelementarną i nie mogę jej obliczyć, chyba ze metodami numerycznymi.
Czy w takim razie jest błąd w zadaniu?
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14159
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4640 razy

Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz

Post autor: Premislav » 15 lis 2017, o 19:06

Coś źle przekształcasz.
\(\displaystyle{ xy'=y+x \cdot \sin x}\)
Podstawiając wszędzie \(\displaystyle{ y=x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t}\) mamy:
\(\displaystyle{ x\left( \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,\dd t+\sin x \right) =x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t+x \cdot \sin x}\)
i po rozwinięciu lewej strony (zwykła rozdzielność mnożenia) i skróceniu masz tożsamość \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli się zgadza.
Wystarczy skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynu i z tw. o całce oznaczonej jako funkcji górnej granicy całkowania.

slimakslimak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk, Polska
Podziękował: 7 razy

Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz

Post autor: slimakslimak » 15 lis 2017, o 19:12

A tak podstawiłam tylko pod \(\displaystyle{ y'}\), zapominając o \(\displaystyle{ y}\), dzięki!
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ