relatywistyczny ruch jednostajnie przyspieszony

[entomonolog]

Trappist - 1
Odległość od ziemi \(\displaystyle{ 40 ly}\)
W kapsule leci człowiek. Kapsuła ma stałe przyspieszenie o wartości \(\displaystyle{ a = g}\) dla uproszczenia \(\displaystyle{ 10 \frac{m}{s^2}}\).
W jakim czasie astronauta w kapsule z tym przyspieszeniem jest w stanie pokonać tą odległość?
W sensie - ile lat upłynie dla astronauty w kapsule (bo dla ziemian to zapewne kilkatysięcy)

ODP: W przybliżeniu 5 miesięcy

Ma ktoś pomysł?
Wychodzi na to, że w którymś momencie \(\displaystyle{ V=c}\) a więc mianownik nam się wyzeruje....
Kombinuje na różne sposoby i nie mogę do tego dojść.. Czy niezbędne będzie całkowanie?

[kerajs]

Jesteś pewien, że 40 lat świetlnych można śmignąć w 5 miesięcy?

W Twoim wieku można sporo zapomnieć, wiem to po sobie choć jestem dużo młodszy. Proponuję przejrzeć rozdział Relatywistyka w dowolnym podręczniku fizyki.

PS
Pewnie wiesz, że przez połowę trasy należy przyspieszać a w drugiej połowie hamować, jeżeli chcesz zbadać jedną z planet tego czerwonego karła.

[AiDi]

Pokaż jak kombinujesz, bo nie wiem jaki mianownik Ci się zeruje. Ten czas to ma być czas mierzony przez kogo? Czas własny astronauty?

[quote="kerajs"]Proponuję przejrzeć rozdział Relatywistyka w dowolnym podręczniku fizyki.[/quote]

No nie wiem czy tak dowolnym, relatywistyczny ruch jednostajnie przyspieszony nie jest standardowym tematem fizyki ogólnej. Ja ten temat zwykle spotykałem dopiero w książkach z OTW (jak np. Grawitacji J.Hartle'a, s. 93).

[entomonolog]

Poprawiłem.

W jakim czasie astronauta w kapsule z tym przyspieszeniem jest w stanie pokonać tą odległość?
W sensie - ile lat upłynie dla astronauty w kapsule (bo dla ziemian to zapewne kilka tysięcy)

[AiDi]

Ustalmy inercjalny układ odniesienia w którym astronauta porusza się wzdłuż osi \(\displaystyle{ OX}\). W STW ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem \(\displaystyle{ g}\) sprowadza się do takiego związku z prędkością:
\(\displaystyle{ g=\frac{\textsf{d}(\gamma v)}{\textsf{d}t}}\).
Całkując otrzymujemy: \(\displaystyle{ gt=\gamma v}\) i rozwiązując ze względu na \(\displaystyle{ v}\):
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}}}\).
Odcałkuj to drugi raz otrzymując \(\displaystyle{ x(t)}\). Z tego, że wiesz jaki dystans astronauta pokona w naszym układzie inercjalnym będziesz w stanie wyznaczyć ile czasu współrzędniowego \(\displaystyle{ t_{lotu}}\) mu to zajmie. Dalej, czas jaki upłynie na zegarku astronauty to jego czas własny dany całką:
\(\displaystyle{ \tau=\int_0^{t_{lotu}}\frac{\textsf{d}t}{\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}}}\).