Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi..

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi..

Post autor: Kalkulatorek » 15 lis 2017, o 08:58

Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to
\(\displaystyle{ (\forall (A, B) )(f[A \cap B] = f[A] \cap f[B])}\)

Zawieranie \(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]}\) zachodzi zawsze, więc wystarczy pokazać inkluzję w drugą stronę.
Rozważamy zatem takie \(\displaystyle{ y}\), które należą do przekroju \(\displaystyle{ f[A] \cap f[B]}\).
Weźmy dowolny \(\displaystyle{ y \in f[A] \cap f[B]}\)
Wiadomo zatem, że
\(\displaystyle{ (\exists x)(x \in A \land y=f(x)) \land (\exists x)(x \in B \land y = f(x))}\)
Jedyne, co pozostaje zrobić, to w jakiś sposób "wyciągnąć" kwantfikator egzystencjalny przed koniunkcję.

Nie skorzystałem nigdzie z różnowartościowości funkcji - po prostu nie wiem, w jaki sposób ten warunek przyczynia się do tego zadania, prosiłbym o podpowiedź.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 10:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19198
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3246 razy

Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi..

Post autor: a4karo » 15 lis 2017, o 10:14

Kalkulatorek pisze:Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to
\(\displaystyle{ (\forall (A, B) )(f[A \cap B] = f[A] \cap f[B])}\)

Zawieranie \(\displaystyle{ f[A\capB] \subseteq f[A] \cap f[B]}\) zachodzi zawsze, więc wystarczy pokazać inkluzję w drugą stronę. .

Czyżby?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27288
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi..

Post autor: Jan Kraszewski » 15 lis 2017, o 10:28

a4karo pisze:Czyżby?
Ano tak - zajrzyj do kodu...
Kalkulatorek pisze:Wiadomo zatem, że
\(\displaystyle{ (\exists x)(x \in A \land y=f(x)) \land (\exists x)(x \in B \land y = f(x))}\)
Jedyne, co pozostaje zrobić, to w jakiś sposób "wyciągnąć" kwantfikator egzystencjalny przed koniunkcję.

Nie skorzystałem nigdzie z różnowartościowości funkcji - po prostu nie wiem, w jaki sposób ten warunek przyczynia się do tego zadania, prosiłbym o podpowiedź.
A możesz powiedzieć, jak "wyciągasz" kwantyfikator egzystencjalny przed koniunkcję?

Pamiętaj, że nie zawsze możesz zrobić to, na co masz ochotę - zawsze potrzebujesz uzasadnienia.

JK

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi.

Post autor: Kalkulatorek » 15 lis 2017, o 16:48

Właśnie to jest ten problem, kwantyfikator ogólny nie jest rozdzielny względem koniunkcji, dlatego potrzebne mi uzasadnienie.
Domyślam się, ze właśnie w tym miejscu muszę skorzystać z różnowartościowości funkcji. Funkcja jest różnowartościowa, zatem \(\displaystyle{ (\forall x,y)(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y)}\)
Oraz
\(\displaystyle{ (\exists x)(x \in A \land y=f(x)) \land (\exists x)(x \in B \land y = f(x))}\)
Zatem jeżeli \(\displaystyle{ x, z\in A \cap B}\), to \(\displaystyle{ f(x) \ne f(z)}\)
A więc nie ma możiwości, aby \(\displaystyle{ y \notin f[A \cap B]}\) znalazło się w obrazie funkcji.

A więc skoro istnieje \(\displaystyle{ x}\) należący do \(\displaystyle{ A}\) taki, że \(\displaystyle{ y = f(x)}\) oraz taki sam \(\displaystyle{ x}\) występuje w \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\)

Brakuje mi tylko formalnego pomysłu na to, jak to opisać.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27288
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Udowodnić, że jeżeli funkcja jest injekcją, to zachodzi.

Post autor: Jan Kraszewski » 15 lis 2017, o 16:55

Jakbyś pisał więcej słów, a mniej znaczków, byłoby prościej.

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ y \in f[A] \cap f[B]}\). Wtedy \(\displaystyle{ y \in f[A]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f[B]}\), zatem istnieją \(\displaystyle{ x\in A}\) i \(\displaystyle{ t\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=y}\) i \(\displaystyle{ f(t)=y}\), Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ f(x)=f(t)}\), zatem z różnowartościowości funkcji \(\displaystyle{ f}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x=t}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A\cap B,}\) a ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=y}\), więc \(\displaystyle{ y \in f[A\cap B]}\), co należało dowieść.

JK

ODPOWIEDZ