Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Dredzior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2017, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Całka oznaczona

Post autor: Dredzior » 14 lis 2017, o 21:33

Witam, czy mógłby ktoś rozwiązać mi tą całkę z objaśnieniem? Bo nie mogę sobie sam poradzić



\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( 4x ^{3}+e ^{x}+ \frac{1}{4} \sqrt[3]{x}+ \pi \right) \mbox{d}x- \int_{0}^{1}e \mbox{d}x =}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski » 14 lis 2017, o 22:20

1. Przypominamy sobie, że "całka sumy równa jest sumie całek".
2. Stałe jako współczynniki wyprowadzamy przed znak całki oraz to, że całka z \(\displaystyle{ x^n = \frac{1}{n+1} \cdot x ^{(n+1)}}\), i to, że "pochodna funkcji pierwotnej równej \(\displaystyle{ e^x = e^x}\) . Tak więc mając pod znakiem całki funkcję pochodną \(\displaystyle{ e^x}\) natychmiast odpowiadamy, że jej funkcja pierwotna, zatem jej całka, przed zróżniczkowaniem (i napisaniu pod znakiem całki) jest równa pochodnej, czyli napisanej pod znakiem całki \(\displaystyle{ e^x}\).
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^xdx= e^x +C}\)

Stąd mamy:
\(\displaystyle{ I=\int_{0}^{1}\left( 4x ^{3}+e ^{x}+ \frac{1}{4} \sqrt[3]{x}+ \pi \right) \mbox{d}x- \int_{0}^{1}e \mbox{d}x = 4\int_{0}^{1} x^3dx + \int_{0}^{1} e^xdx + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^{ \frac{1}{3} }dx + \pi \int_{0}^{1}dx - e \int_{0}^{1}dx}\)
i dalej pewnie już z górki.

Dredzior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2017, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Całka oznaczona

Post autor: Dredzior » 14 lis 2017, o 22:33

Dziękuję Ci za pomoc, ale proszę o dokończenie rozwiązania z objaśnieniem, ponieważ bardzo mi to ułatwi zrozumienie całek

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19198
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3246 razy

Całka oznaczona

Post autor: a4karo » 14 lis 2017, o 22:46

Dredzior pisze:Dziękuję Ci za pomoc, ale proszę o dokończenie rozwiązania z objaśnieniem, ponieważ bardzo mi to ułatwi zrozumienie całek
Dla Twojej wiadomości: pod ksywą "kruszewski" kryje się Adam Słodowy: autor programu "Zrób to sam"

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski » 14 lis 2017, o 22:57

Kolego Dredzior dalsze "objaśnianie" byłoby odrobieniem zadania domowego za Kolegę. A i tak znaczna jego część została odrobiona. Proszę więc pokazać swoje próby dokończenia zadania. Ewentualne błędy i potknięcia zostaną pokazane i objaśnione sposoby ich uniknięcia. Czekam więc na wyniki z tej próby.

Dredzior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2017, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Całka oznaczona

Post autor: Dredzior » 15 lis 2017, o 23:19

A więc wyszło mi \(\displaystyle{ e+ \frac{3}{16}}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski » 16 lis 2017, o 02:52

A co z "pi"?

Dredzior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2017, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Całka oznaczona

Post autor: Dredzior » 16 lis 2017, o 07:39

Wydawało mi się, że "pi" to stała więc =0 w tym przypadku

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: Belf » 16 lis 2017, o 08:33

Tak, \(\displaystyle{ \pi}\) to stała, a całka ze stałej, to : \(\displaystyle{ \int{a}dx=a \int1dx = ax+C}\), zatem:\(\displaystyle{ \int{\pi}dx=\pi\cdot x+ C}\)-- 16 lis 2017, o 08:42 --I drobna uwaga do tego : \(\displaystyle{ \int x^ndx = \frac{1}{1+n}\cdot x^{n+1} + C , tylko \ dla:n \neq -1}\)

Dredzior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2017, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Całka oznaczona

Post autor: Dredzior » 16 lis 2017, o 09:54

Dziękuję Panowie za pomoc, ostateczny wynik który mi wyszedł to \(\displaystyle{ \frac{3}{16} + \pi}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6756
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1093 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski » 16 lis 2017, o 10:22

Belf pisze: I drobna uwaga do tego : \(\displaystyle{ \int x^ndx = \frac{1}{1+n}\cdot x^{n+1} + C , tylko \ dla:n \neq -1}\)
Bardzo słuszna i nie taka drobna uwaga, jak często zapominana przez nie profesjonalistów i nie dopisywana do wzoru choć pamięta się, że:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{-1}dx = \int_{}^{} \frac{dx}{x} = lnx +C.}\)
Dziękuję!

ODPOWIEDZ