Granica funkcji z wartością bezwzględną

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: student1543 » 14 lis 2017, o 11:01

Cześć,
Mam pytanie w sprawie wartości bezwzględnej w granicach. Dlaczego jeżeli mam granice lewostronną \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) to opuszczam moduł i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-\sin x}{-x}}\) a w w innej granicy lewostronnej funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x\to -4^{-} } \frac{x}{\left| x+4\right| }}\) po podstawieniu wartości mniejszej od \(\displaystyle{ -4}\) czyli \(\displaystyle{ -4,1}\) wychodzi wartość \(\displaystyle{ 0,1}\) a nie \(\displaystyle{ -0,1}\) i zatem cała granica dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\). To są przykłady gdzie trzeba obliczyć też granice prawostronną ale z tym nie było problemu.

I jeszcze pytanie z innej beczki czy przy obliczaniu ciągłości funkcji to np gdzie mamy podane dwa punkty podjerzane o nieciągłość np \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) to w obydwu przypadkach muszą wyjść takie same wyniki że granice prawostronna i lewostronna takie same i \(\displaystyle{ f(x_0)}\) takie samo jak granice i w drugim przypadku to samo z tą samą wartością?
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 17:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3141
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1068 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Janusz Tracz » 14 lis 2017, o 11:17

Mam pytanie w sprawie wartości bezwzględnej w granicach. Dlaczego jeżeli mam granice lewostronną \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) to opuszczam moduł i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-\sin x}{-x}}\)
To wynika z definicji wartości bezwzględnej. Ponieważ dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{-}}\) funkcja \(\displaystyle{ \sin x}\) zbiega po wartościach ujemnych to \(\displaystyle{ \left| \sin x\right|=-\sin x}\) analogicznie z \(\displaystyle{ x}\) który zbiega tylko po ujemnych więc \(\displaystyle{ \left| x\right| =-x}\)
a w w innej granicy lewostronnej funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x\to -4^{-} } \frac{x}{\left| x+4\right| }}\) po podstawieniu wartości mniejszej od \(\displaystyle{ -4}\)czyli \(\displaystyle{ -4,1}\) wychodzi wartość \(\displaystyle{ 0,1}\) a nie \(\displaystyle{ -0,1}\) i zatem cała granica dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\).
Z tego samego powodu z definicji wartości bezwzględnej mianownik zawsze jest większy od zera więc jeśli do niego dąży to jest to "zero dodatnie" \(\displaystyle{ 0^{+}}\). Licznik dąży do \(\displaystyle{ -4}\) ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{-4}{0^+}=- \infty}\)
czy przy obliczaniu ciągłości funkcji to np gdzie mamy podane dwa punkty podjerzane o nieciągłość np 2 i 1 to w obydwu przypadkach muszą wyjść takie same wyniki że granice prawostronna i lewostronna takie same i \(\displaystyle{ f(x_0)}\) takie samo jak granice i w drugim przypadku to samo z tą samą wartością?
Ciągłości się nie oblicza, ciągłość się sprawdza ale to drobiazg. Nie do końca rozumiem pytanie bo jeśli masz 2 różne punkty w których badasz ciągłość to aby w tych punktach funkcja była ciągła to musi zajść:

\(\displaystyle{ \left\{ \lim_{x \to x_1}f(x)=f(x_1)\right\} \Leftrightarrow \left\{\lim_{x \to x_1^{-}}f(x)=\lim_{x \to x_1^{+}}f(x)=f(x_1) \right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \lim_{x \to x_2}f(x)=f(x_2)\right\} \Leftrightarrow \left\{\lim_{x \to x_2^{-}}f(x)=\lim_{x \to x_2^{+}}f(x)=f(x_2) \right\}}\)

Ale niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\) jeśli o to pytasz.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 11:24

Dla pierwszej granicy możesz skorzystać z faktu:

\(\displaystyle{ \frac{|\sin x|}{|x|}=\left| \frac{\sin x}{x}\right|}\)

a granica pod modułem jest równa \(\displaystyle{ 1}\) , bez wzgledu na to, z której strony \(\displaystyle{ x}\) zmierza do \(\displaystyle{ 0}\).
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 17:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: student1543 » 14 lis 2017, o 12:54

Janusz Tracz, no to jak mianownik ma byc zawsze większy od zera to czemu w przykładzie z sinusem mianownik jest ujemny? Tego nie rozumiem.

A co do drugiego pytania to kiedy funkcja jest ciągła jeżeli sprawdzam dwa punkty? Kiedy w obu sprawdzeniach wyjdzie to samo czy moze w jednym sprawdzeniu moze wyjsc np nieskończoność a w drugim -nieskończoność ?

Belf, znam ten wzór ale chcialem innym sposobem zrobić

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 13:06

Nie do końca wiadomo , o co pytasz.
Janusz Tracz Ci wyjaśnił,że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\) z lewej strony, to \(\displaystyle{ \sin x}\) jest ujemny i zgodnie z definicją
modułu: \(\displaystyle{ |\sin x| = - \sin x}\).
Podobnie jest z \(\displaystyle{ x}\) , gdy spojrzysz na funkcję : \(\displaystyle{ f(x) = x}\) , to zobaczysz,że gdy \(\displaystyle{ x}\) dąży do zera
od lewej strony, to zmierza po wartościach ujemnych, stąd na tej samej zasadzie: \(\displaystyle{ |x| = - x}\)

Co do drugiego pytanie, czy chodzi Ci o badanie ciągłości funkcji w dwóch różnych punktach ?
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 13:25 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: student1543 » 14 lis 2017, o 13:16

Belf, no to jakby \(\displaystyle{ \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\)dążył do \(\displaystyle{ -4^{-}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie byłyby ujemne? Dobrze to rozumiem? Ze to tylko tyczy się zera ujemnego?
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 13:26 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 13:20

Teraz to ja już też się zgubiłem. Co to znaczy: \(\displaystyle{ \frac{|\sin x|}{|x|}}\)dązy do:\(\displaystyle{ -4^{-}}\) ?
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 13:26 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: student1543 » 14 lis 2017, o 13:30

Belf, chodzi o granice ze dąży do tej \(\displaystyle{ -4^{-}}\)

A co do ciągłości to tak, chodzi o dwa różne punkty

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 13:36

Granica dąży do -4 ?

student1543
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 14 paź 2017, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: student1543 » 14 lis 2017, o 13:38

Belf, tak

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 13:40

Przecież ta granica wynosi 1

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27278
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4589 razy

Granica funkcji z wartością bezwzględną

Post autor: Jan Kraszewski » 14 lis 2017, o 17:36

student1543 pisze:Belf, no to jakby \(\displaystyle{ \frac{\left| \sin x\right| }{\left| x\right| }}\) dążył do \(\displaystyle{ -4^{-}}\) to wtedy \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie byłyby ujemne? Dobrze to rozumiem? Ze to tylko tyczy się zera ujemnego?
Musisz postarać się poprawić poziom precyzji i poprawności swoich wypowiedzi, bo to, co piszesz, wygląda słabo, niespecjalnie ma sens i raczej nie wiadomo, o co chodzi.

I zapamiętaj sobie, że granica nigdy nigdzie nie dąży!

JK

ODPOWIEDZ