Zbieżność bezwzględna i warunkowa

[malwinka1058]

Badam zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2+\left( -1\right) ^{n} }{n}}\)

Nie jest on zbieżny bezwzględnie, jednak co do zbieżności warunkowej, czy stwierdzenie,że nie spełnia on kryterium Leibnitza, tzn.ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2+\left( -1\right) ^{n} }{n}}\) nie jest malejący od razu sugeruje, że szereg nie jest zbieżny warunkowo?

[Premislav]

czy stwierdzenie,że nie spełnia on kryterium Leibnitza, tzn.ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2+\left( -1\right) ^{n} }{n}}\) nie jest malejący od razu sugeruje, że szereg nie jest zbieżny warunkowo?

Absolutnie nie, kryterium Leibniza, jak większość kryteriów zbieżności, jest pewną implikacją, a nie równoważnością. Z tego, że założenia kryterium nie są spełnione, nie wynika na dobrą sprawę nic poza tym, że rzeczone kryterium się w danym przykładzie nie stosuje.
Właściwie to trochę „oszukując", można by powiedzieć, że szeregu zbieżnego nie da się rozbić na sumę zbieżnego i rozbieżnego, tymczasem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2\cdot \frac{(-1)^n}{n}}\) jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza, zaś
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n\cdot \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{ \infty }\frac 1 n}\)
jest rozbieżny. Zatem „Twój" szereg jest rozbieżny.

-- 14 lis 2017, o 02:03 --

W sumie to nawet nie jest oszukane. :s