Zbieżność szeregu

[malwinka1058]

Mam problem ze zbadaniem zbieżności szeregów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \sqrt[n]{3}-1 \right)}\)
Próbowałam z różnych kryteriów i nie rozstrzygają, podobnie z szeregiem

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( 2n-1\right)!! }{\left( 2n\right)!! \cdot \left( 2n+1\right) }}\)

Bardzo proszę o pomoc, którego kryterium tu użyć?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \frac{\sqrt[n]{3}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to \infty } \frac{3^{\frac 1 n}-1}{\frac 1 n} =\ln 3}\), zaś szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac 1 n}\) jest rozbieżny, zatem też
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \sqrt[n]{3}-1 \right)}\) jest rozbieżnym na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też czasem asymptotycznym lub kryterium porównawczym w wersji granicznej).

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( 2n-1\right)!! }{\left( 2n\right)!! \cdot \left( 2n+1\right) }= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(2n)!}{\left( (2n)!!\right)^2 (2n+1) }= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2(2n+1)}}\)
Teraz armatą, która powinna zadziałać, jest wzór Stirlinga (w połączeniu znów z kryterium asymptotycznym), który daje zbieżność, inny pomysł mógłby polegać na nieprzekształcaniu tego tak i wykazaniu, że
\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n-1\right)!! }{\left( 2n\right)!! } \le \frac{1}{\sqrt{2n}}}\),
by następnie zastosować kryterium porównawcze. Tu masz ciekawy dowód takiej nierówności:
Nierówność z silniami (Post by dec1 #5458905)

[Janusz Tracz]

W pierwszym można też zauważyć że dla \(\displaystyle{ x>0}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ 1+x<3^x}\) jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{n}}\) to mamy szacowanie

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}< \sqrt[n]{3}-1}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny to na mocy kryterium porównawczego szereg z zadania też jest rozbieżny.