Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Zbieżność szeregu

Post autor: malwinka1058 » 13 lis 2017, o 23:33

Mam problem ze zbadaniem zbieżności szeregów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \sqrt[n]{3}-1 \right)}\)
Próbowałam z różnych kryteriów i nie rozstrzygają, podobnie z szeregiem

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( 2n-1\right)!! }{\left( 2n\right)!! \cdot \left( 2n+1\right) }}\)

Bardzo proszę o pomoc, którego kryterium tu użyć?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 14 lis 2017, o 01:19

\(\displaystyle{ lim_{n o infty } frac{sqrt[n]{3}-1}{frac 1 n} = lim_{n o infty } frac{3^{frac 1 n}-1}{frac 1 n} =ln 3}\), zaś szereg
\(\displaystyle{ sum_{n=1}^{ infty } frac 1 n}\) jest rozbieżny, zatem też
\(\displaystyle{ sum_{n=1}^{ infty }left( sqrt[n]{3}-1 ight)}\) jest rozbieżnym na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też czasem asymptotycznym lub kryterium porównawczym w wersji granicznej).

\(\displaystyle{ sum_{n=1}^{ infty } frac{left( 2n-1 ight)!! }{left( 2n ight)!! cdot left( 2n+1 ight) }= sum_{n=1}^{ infty } frac{(2n)!}{left( (2n)!! ight)^2 (2n+1) }= sum_{n=1}^{ infty } frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2(2n+1)}}\)
Teraz armatą, która powinna zadziałać, jest wzór Stirlinga (w połączeniu znów z kryterium asymptotycznym), który daje zbieżność, inny pomysł mógłby polegać na nieprzekształcaniu tego tak i wykazaniu, że
\(\displaystyle{ frac{left( 2n-1 ight)!! }{left( 2n ight)!! } le frac{1}{sqrt{2n}}}\),
by następnie zastosować kryterium porównawcze. Tu masz ciekawy dowód takiej nierówności:
413694.htm#p5458905

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3143
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1069 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 14 lis 2017, o 06:24

W pierwszym można też zauważyć że dla \(\displaystyle{ x>0}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ 1+x<3^x}\) jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{n}}\) to mamy szacowanie

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}< \sqrt[n]{3}-1}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny to na mocy kryterium porównawczego szereg z zadania też jest rozbieżny.

ODPOWIEDZ