równanie z wartością bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 18:43

Jak rozwiązać to równanie \(\displaystyle{ 6-\left| 4-x\right| =\left| 2-3x\right|}\) metodą algebraiczną używając tego wzoru: \(\displaystyle{ \left| x+y\right| \le \left| x\right| +\left| y\right|}\)?
Inne podobne równania tak rozwiązywałem i wychodziło dobrze, bo odpowiedzią były przedziały, ale tutaj powinny wyjść dwie konkretne liczby, więc jak to zrobić tym sposobem jeśli na końcu wychodzi \(\displaystyle{ 3 \ge x \ge 0}\), czyli przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0,3\right\rangle}\)? Wiem jak to zrobić innym sposobem, ale interesuje mnie właśnie ten

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: a4karo » 13 lis 2017, o 18:46

Użycie nierówności do rozwiązywania równań wydaje się być rozwiązaniem mocno nietypowym.

Rozbij prostą na trzy przedziały (mam nadzieję, że wiesz o jakich przedziałąch mówię), w każdym zastosuj definicję wartości bezwzględnej i rozwiąż otrzymane równania.

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 18:57

a4karo pisze:Rozbij prostą na trzy przedziały (mam nadzieję, że wiesz o jakich przedziałąch mówię)
Szczerze to nie wiem

EDIT
jednak wiem, ale to już jest inny sposób i inny wzór...
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 19:00 przez Jmoriarty, łącznie zmieniany 1 raz.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: a4karo » 13 lis 2017, o 18:59

Przyjrzyj się definicji wartości bezwzględnej.

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 19:01

Edytowałem odpowiedź. Chodzi mi o bezpośrednie wykorzystanie wzoru, który podałem. Da się to zrobić z tym wzorem?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: a4karo » 13 lis 2017, o 19:08

Ja nie widzę zastosowanie dla nierówności trójkąta. Ale próbuj...

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 19:23

Szczerze to nie wiedziałem nawet, że ten wzór jest z nierówności trójkąta. Miałem ten wzór na lekcji tylko z wykorzystaniem jako jeden ze sposobów rozwiązywania takich równań. Po prostu chciałem wiedzieć, jeśli jest to jeden ze sposobów, to powinien wyjść nim taki sam wynik jak innym sposobem i się zastanawiałem dlaczego nie wychodzi to samo. To co mi wyszło niby nie kłamie, bo \(\displaystyle{ x}\) faktycznie jest większy/równy zeru i mniejszy/równy od trzech, bo odpowiedź to \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0;2\right\}}\), a na wikipedii z nierówności trójkąta wyczytałem, że ten wzór, który podałem wykorzystuje się "aby uzyskać jak najlepsze oszacowanie sumy dwóch liczb za pomocą ich wielkości", więc nie da się otrzymać tym wzorem tego samego dokładnego wyniku (jeśli nie jest on przedziałem), zawsze wyjdzie nierówność?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: a4karo » 13 lis 2017, o 19:40

A możesz podać przykład równania, które rozwiązales przy użyciu tej nierówności (oczywiście razem z rozwiązaniem)?

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 19:50

Tak. Np. równanie \(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =4}\)
Według wzoru
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \ge \left| x-1+x+3\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| x-1\right| + \left| x+3\right| \ge \left| 2x+2\right|}\)
Za lewą stronę równania podstawiam \(\displaystyle{ 4}\), bo \(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =4}\), więc
\(\displaystyle{ 4 \ge \left| 2x+2\right|}\)
\(\displaystyle{ -4 \le 2x+2 \le 4}\)
...po przekształceniach będzie
\(\displaystyle{ -3 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -3;1\right\rangle}\)
Taka jest odpowiedź, bo tutaj \(\displaystyle{ x}\) jest przedziałem.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jan Kraszewski » 13 lis 2017, o 20:00

No to szczęśliwy zbieg okoliczności. Spróbuj w ten sam sposób rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =2}\)

albo

\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| =6}\).

JK

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 20:08

Czyli po prostu ten wzór wykorzystuje się do rozwiązywania (m.in.) nierówności, a nie do równań z wartością bezwzględną?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jan Kraszewski » 13 lis 2017, o 20:13

W nierównościach też nie. Przecież stosując ten wzór tracisz jakąś informację.

Jeżeli podobnie jak równanie powyżej będziesz próbował rozwiązać nierówność

\(\displaystyle{ \left| x-1\right| +\left| x+3\right| \le 2,}\)

to też dostaniesz złą odpowiedź.

JK

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 20:19

Nauczyciel pokazał nam ten sposób, a nawet nie powiedział, że można tego używać w tak małej ilości przykładów..

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jan Kraszewski » 13 lis 2017, o 20:27

Bad luck ...

To w ogóle nie jest sposób. Stwierdzenie "można tego używać w tak małej ilości przykładów" jest nieprawdziwe - jego w ogóle nie można używać w tym celu. Żebyś mógł go używać (nawet w niewielu przykładach) musiałbyś PRZED rozpoczęciem rozwiązywania wiedzieć, że akurat w tym przykładzie możesz go wykorzystać. A tego przecież nie wiesz.

Ogólnie jest tak, że stosując tego typu "metody" otrzymujesz nadzbiór zbioru rozwiązań.

JK

Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 271
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1 raz

Re: równanie z wartością bezwzględną

Post autor: Jmoriarty » 13 lis 2017, o 20:45

Właśnie, uświadomiłem to sobie między postami, ale przez to że nauczyciel podał ten "sposób" zastanawiałem się nad tym głębiej, a teraz szczerze nie widzę sensu trochę jakby mieszania nam w głowie, bo nierówności trójkąta nie będzie nawet w tej klasie.
No nic, to dziękuję za pomoc

ODPOWIEDZ