jądro operatora liniowego ciągłego

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
joasia317
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 18 cze 2017, o 19:38
Płeć: Kobieta
Podziękował: 7 razy

jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: joasia317 » 13 lis 2017, o 14:53

Witam, proszę o pomoc w następującym zadaniu:

,,Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą przestrzeniami liniowo topologicznymi i niech \(\displaystyle{ T: X \rightarrow Y}\) będzie operatorem liniowym ciągłym. Ponadto, niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie również przestrzenią topologiczną Hausdorffa. Wykazać, że \(\displaystyle{ kerT}\) jest podprzestrzenią domkniętą."

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: szw1710 » 13 lis 2017, o 17:22

Wskazówka: przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą jest zbiorem domkniętym. Jądro to przeciwobraz konkretnego zbioru. Jaki to zbiór? Czy jest domknięty?

joasia317
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 18 cze 2017, o 19:38
Płeć: Kobieta
Podziękował: 7 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: joasia317 » 13 lis 2017, o 17:38

szw1710, \(\displaystyle{ kerT = \left\{ x \in X : T(x) = 0\right\}}\) czyli przeciwobraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\)? Czy to będzie tak, że on jest domknięty, bo \(\displaystyle{ Y}\) jest \(\displaystyle{ T2}\) przestrzenią?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: szw1710 » 13 lis 2017, o 17:46

Tak.

joasia317
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 18 cze 2017, o 19:38
Płeć: Kobieta
Podziękował: 7 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: joasia317 » 13 lis 2017, o 17:48

Zatem pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ kerT}\) jest podprzestrzenią..? Czy fakt, że jest domknięty już wystarczy?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: szw1710 » 13 lis 2017, o 18:00

No trzeba by sprawdzić. Ale to prosto wynika z definicji odwzorowania liniowego i warunku równoważnego bycia podprzestrzenią.

joasia317
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 18 cze 2017, o 19:38
Płeć: Kobieta
Podziękował: 7 razy

Re: jądro operatora liniowego ciągłego

Post autor: joasia317 » 13 lis 2017, o 18:02

ok, dziękuję

ODPOWIEDZ