jądro operatora liniowego ciągłego

[joasia317]

Witam, proszę o pomoc w następującym zadaniu:

,,Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą przestrzeniami liniowo topologicznymi i niech \(\displaystyle{ T: X \rightarrow Y}\) będzie operatorem liniowym ciągłym. Ponadto, niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie również przestrzenią topologiczną Hausdorffa. Wykazać, że \(\displaystyle{ kerT}\) jest podprzestrzenią domkniętą."

[szw1710]

Wskazówka: przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą jest zbiorem domkniętym. Jądro to przeciwobraz konkretnego zbioru. Jaki to zbiór? Czy jest domknięty?

[joasia317]

szw1710, \(\displaystyle{ kerT = \left\{ x \in X : T(x) = 0\right\}}\) czyli przeciwobraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\)? Czy to będzie tak, że on jest domknięty, bo \(\displaystyle{ Y}\) jest \(\displaystyle{ T2}\) przestrzenią?

[szw1710]

Tak.

[joasia317]

Zatem pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ kerT}\) jest podprzestrzenią..? Czy fakt, że jest domknięty już wystarczy?

[szw1710]

No trzeba by sprawdzić. Ale to prosto wynika z definicji odwzorowania liniowego i warunku równoważnego bycia podprzestrzenią.

[joasia317]

ok, dziękuję