Wektory prostopadłe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 12:27

Mam podane wektory: \(\displaystyle{ \vec{a}=[1, 3, 4], \vec{b}=[-3, 0, 1], \vec{c}=[1, -3, 2]}\). Mam wyznaczyć, czy prostopadłe są wektory \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}-\vec{c}}\).
Jeśli chodzi o iloczyny wektorów, to nie mam z tym problemów, ale nie wiem jak się to robi z sumami i różnicami.
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 13:51 przez AiDi, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 13 lis 2017, o 13:20

Jak obliczamy sumę, czy różnicę dwóch wektorów? Jakie działania wykonujemy na ich współrzędnych?

Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 13:31

janusz47 pisze:Jak obliczamy sumę, czy różnicę dwóch wektorów? Jakie działania wykonujemy na ich współrzędnych?
Odpowiednio: dodajemy i odejmujemy te współrzędne.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 13 lis 2017, o 14:11

To w czym problem?

Obliczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{s} = \vec{a}+\vec{b},}\) oraz wektora \(\displaystyle{ \vec{r} = \vec{b}- \vec{c}.}\).

Sprawdzamy, czy wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\) są prostopadłe?

Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 15:55

\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b} = [-2,3,5] \\ \vec{b} - \vec{c} = [-4,3,-1]\\ \vec{s} \times \vec{r} = [-2,3,5] \times [-4,3,-1] = 8 + 9 - 5 = 12}\)

Tak to powinno wyglądać?
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 18:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 13 lis 2017, o 19:11

Tak! Jaki wniosek ?

Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 19:25

Teraz rozumiem. Myślałem, że \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} - \vec{c}}\) to są 2 osobne przykłady i najpierw trzeba sprawdzić tę sumę czy wektory są prostopadłe, a potem tę różnicę. Przeszłocmi przez myśl, że może to jest jeden przykład i trzeba zrobić tak w rozwiązaniu, ale wydało mi się to zbyt proste, by było prawdopodobne.

A wniosek jest taki, że nie są prostopadłe, gdyż iloczyn nie jest równy 0.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 13 lis 2017, o 19:47

Świetnie!

To może jeszcze jedno pytanie.

Jaki kąt tworzą między sobą wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\)?

Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 20:07

janusz47 pisze:Świetnie!

To może jeszcze jedno pytanie.

Jaki kąt tworzą między sobą wektory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{r}}\)?
Nie wiem, czy dobrze rozumiem, ale...chodzi o kąt ostry?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 13 lis 2017, o 22:52

Tak.

Melquiades1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 10 razy

Wektory prostopadłe

Post autor: Melquiades1 » 13 lis 2017, o 22:55

A jest jakaś zależność, kiedy kąt będzie rozwarty, a kiedy ostry, czy trzeba to liczyć?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wektory prostopadłe

Post autor: janusz47 » 14 lis 2017, o 10:35

\(\displaystyle{ \vec{s}\cdot \vec{r} = |\vec{s}|\cdot |\vec{r}|\cdot \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r})).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r}))= \frac{\vec{s}\cdot \vec{r}}{ |\vec{s}|\cdot |\vec{r}|}.}\)

W Twoim zadaniu:

\(\displaystyle{ \cos(\angle (\vec{s}, \vec{r})) = \frac{12}{\sqrt{(-2)^2+3^2+5^2}\cdot \sqrt{(-4)^2+3^2+(-1)^2}}= \frac{12}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{26}}= 0,38177.}\)

\(\displaystyle{ |\angle (\vec{s}, \vec{r})| \approx 67,6^{o}.}\)

Jeśli iloczyn skalarny wektorów ma wartość dodatnią, to kąt między tymi wektorami jest ostry.

Jeśli iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru, to kąt między wektorami jest prosty.

Jeśli iloczyn skalarny wektorów ma wartość ujemną, to kąt między wektorami jest rozwarty.

ODPOWIEDZ