Wielomian o współczynnikach całkowitych

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Ogorek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy

Wielomian o współczynnikach całkowitych

Post autor: Ogorek00 » 13 lis 2017, o 00:14

Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych taki, że

\(\displaystyle{ W(a)=b\\ W(b)=c\\ W(c)=a}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różnymi liczbami całkowitymi?
Ostatnio zmieniony 31 gru 2017, o 01:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Wielomian o współczynnikach całkowitych

Post autor: Premislav » 13 lis 2017, o 01:17

Przypuśćmy, że taki wielomian istnieje. Znany i bardzo prosty lemat: dla wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych i dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\) liczba \(\displaystyle{ a-b}\) dzieli \(\displaystyle{ W(a)-W(b)}\). Wykorzystaj ten lemat, by dostać podzielności:
\(\displaystyle{ (a-b)|(b-c), \ (b-c)|(c-a), \ (c-a)|(a-b)}\)
Wnioski

ODPOWIEDZ