Pokazać na prostej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Pokazać na prostej

Post autor: max123321 » 12 lis 2017, o 22:52

Pokazać, że na prostej euklidesowej \(\displaystyle{ \RR}\):

a) \(\displaystyle{ \overline{\PP}=\overline{\QQ}=\RR}\), gdzie \(\displaystyle{ \QQ}\) oznacza liczby wymierne i \(\displaystyle{ \PP=\RR \setminus \QQ}\).
b)Niech \(\displaystyle{ \left\{ a_1,a_2,...\right\} \subset \RR}\), niech \(\displaystyle{ b_1,b_2,...}\) będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych i niech \(\displaystyle{ B=\left\{ a_i+b_i:i=1,2,...\right\}}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \overline{A}=\RR}\), to także \(\displaystyle{ \overline{B}=\RR}\). Czy założenie zbieżności ciągu \(\displaystyle{ b_i}\) jest istotne?

Te kreski "z boku" zbiorów powinny być na górze to chyba oznacza dopełnienie.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 10:56 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Linia nad wyrażeniem to \overline{wyrażenie}.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Pokazać na prostej

Post autor: Premislav » 12 lis 2017, o 23:13

Nie żadne dopełnienie, tylko domknięcie. Dla zbioru \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) z ustaloną topologią zbiór \(\displaystyle{ \overline{A}}\) to najmniejszy w sensie zawierania zbiór domknięty, w którym zawarty jest zbiór \(\displaystyle{ A}\).
a) Rozważ ciąg liczb niewymiernych zbieżny do liczby wymiernej i ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby niewymiernej.
b) Rozumiem, że \(\displaystyle{ A=\left\{ a_1, a_2\ldots\right\}}\). To, że \(\displaystyle{ \overline{A}=\RR}\) w praktyce oznacza, iż dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) elementów \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=x}\)
No to teraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i skoro \(\displaystyle{ \overline{A}=\RR}\), to istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (a_{\delta_n})}\) ( \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \delta_n=+\infty}\)) elementów \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{\delta_n}=x-b}\), wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( a_{\delta_n}+b_{\delta_n}\right) =x-b+b=x}\), zatem \(\displaystyle{ x \in \overline{B}}\)
Założenie o zbieżności \(\displaystyle{ b_i}\) najwyraźniej jest istotne, nie chce mi się tego dowodzić (a może nie potrafię), nie lubię takich pytań. Sprowadzają się one (przy pozytywnej odpowiedzi o istotności założeń) do wymyślenia mniej lub bardziej egzotycznego kontrprzykładu, zwykle bardziej.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19195
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3245 razy

Pokazać na prostej

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 23:39

Wystarczy wziąć rozbieżny ciag \(\displaystyle{ b_n=-a_n}\)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Pokazać na prostej

Post autor: max123321 » 18 lis 2017, o 16:20

Premislav pisze:Nie żadne dopełnienie, tylko domknięcie. Dla zbioru \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) z ustaloną topologią zbiór \(\displaystyle{ \overline{A}}\) to najmniejszy w sensie zawierania zbiór domknięty, w którym zawarty jest zbiór \(\displaystyle{ A}\).
Definiując domknięcie używasz sformułowania zbiór domknięty. Nie bardzo mogę ogarnąć. Co to jest tak łopatologicznie, domknięcie, zbiór domknięty?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Pokazać na prostej

Post autor: leg14 » 18 lis 2017, o 16:26

Zbiór domknięty to taki zbiór, którego dopełnienie jest otwarte.
W przestrzeni metrycznej równoważna definicja mówi, że zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest domknięty jeśli dla dowolnego ciągu elementów z A \(\displaystyle{ (x_n) \subset A \subset X}\), jeśli \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x \in X}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\).
Domknięcie zbioru to przecięcie wszystkich zbiorówdomkniętych go zawierających, czyli (tak jak napisał Premislav) jest to najmniejszy zbió domknięty zawierający dany zbiór.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Pokazać na prostej

Post autor: max123321 » 18 lis 2017, o 17:40

Aha no dobra to chyba już czaję. W a) Weźmy dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. On może dążyć do liczby wymiernej np. \(\displaystyle{ x_n=a+ \frac{ \sqrt{2} }{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to liczba wymierna lub niewymierna jeśli \(\displaystyle{ a}\)-niewymierne i innych możliwości nie ma bo do zespolonych chyba nie da rady w sposób oczywisty. A suma liczb wymiernych i niewymiernych to liczby rzeczywiste i zbiór liczb rzeczywistych jest domknięty. I nie można z tego zbioru wyrzucić żadnego elementu \(\displaystyle{ a}\), bo zawsze istnieje ciąg liczb niewymiernych dążący do \(\displaystyle{ a}\). A zatem zbiór liczb rzeczywistych to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór liczb niewymiernych. Dobrze?

Analogicznie można pokazać, że domknięcie zbioru liczb wymiernych to zbiór liczb rzeczywistych bo istnieją ciągi liczb wymiernych dążące zarówno do dowolnej liczby wymiernej jak i do liczby niewymiernej.
A zatem domknięcie obu tych zbiorów to liczby rzeczywiste. Ta?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19195
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3245 razy

Re: Pokazać na prostej

Post autor: a4karo » 19 lis 2017, o 05:48

Tu niestety pomyliła ci się suma algebraiczne z sumą mnogosciową. (o ile rozumiem Twoje rozumowanie)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Pokazać na prostej

Post autor: max123321 » 19 lis 2017, o 16:20

Jak to? To ja ta suma powinna być? Chyba mnogościowa? Dlaczego algebraiczna? Co jest nie tak?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19195
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3245 razy

Re: Pokazać na prostej

Post autor: a4karo » 20 lis 2017, o 00:11

max123321 pisze:Aha no dobra to chyba już czaję. W a) Weźmy dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. On może dążyć do liczby wymiernej np. \(\displaystyle{ x_n=a+ \frac{ \sqrt{2} }{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to liczba wymierna lub niewymierna jeśli \(\displaystyle{ a}\)-niewymierne i innych możliwości nie ma bo do zespolonych chyba nie da rady w sposób oczywisty.
Namieszałeś tu ostro: najpierw piszesz, że bierzesz dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. A potem nagle nie jest dowolny, tylko ma bardzo konkretną postać...

Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą niewymierną, to liczby \(\displaystyle{ a+ \frac{ \sqrt{2} }{n}}\) wcale nie muszą być niewymierne (przynajmniej niektóre)


Przemyśl swoje rozumowanie: wystarczy, że dla dowolnej liczby wymiernej skonstruujesz ciag liczb niewymiernych zbieżny doniej, żeby pokazać gęstość liczb niewymiernych.
A suma liczb wymiernych i niewymiernych to liczby rzeczywiste i zbiór liczb rzeczywistych jest domknięty. I nie można z tego zbioru wyrzucić żadnego elementu \(\displaystyle{ a}\), bo zawsze istnieje ciąg liczb niewymiernych dążący do \(\displaystyle{ a}\). A zatem zbiór liczb rzeczywistych to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór liczb niewymiernych. Dobrze?
Przecież to wytłuszcone pokazujesz, więc nie możesz z tego argumentu skorzystać.

Analogicznie można pokazać, że domknięcie zbioru liczb wymiernych to zbiór liczb rzeczywistych bo istnieją ciągi liczb wymiernych dążące zarówno do dowolnej liczby wymiernej jak i do liczby niewymiernej.
A zatem domknięcie obu tych zbiorów to liczby rzeczywiste. Ta?
No własnie nie analogicznie. Łatwo skonstruować ciąg liczb niewymiernych zbieżny do liczby wymiernej (co zrobiłeś powyżej). trochę trudniej w drugą stronę: skonstruować ciąg licz wymiernych zbieżny do zadanej liczby niewymiernej.

Inna rzecz, że sposób konstrukcji zależy mocno od tego, jak definiujesz liczy rzeczywiste.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Pokazać na prostej

Post autor: max123321 » 22 lis 2017, o 02:56

No dobra, skonstruować ciąg wymiernych lecący do niewymiernej.
To weźmy tą niewymierną liczbę \(\displaystyle{ k}\). Ma ona przedstawienie dziesiętne jak każda. To weźmy to przedstawienie dziesiętne:
\(\displaystyle{ k=x_1x_2x_3....x_i,x_{i+1}.....}\), gdzie te iksy indeksowane to kolejne cyfry liczby \(\displaystyle{ k}\) w rozwinięciu dziesiętnym. No to wówczas dla takiej liczby utwórzmy ciąg: \(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=1}^{n} x_k \cdot 10^{i-k}}\). To ten ciąg tworzą liczby wymierne, a dążą do niewymiernej.
Tak jest dobrze?
Ostatnio zmieniony 22 lis 2017, o 11:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ