Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 21:52

Dane:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 , a_{n+1} = - \frac{1}{2} a_{n}^2 + 2 a_{n}}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: szw1710 » 12 lis 2017, o 21:53

Najpierw spróbuj zbadać doświadczalnie charakter tego ciągu. Wylicz, kilka (na komputerze kilkadziesiąt) wyrazów i zobacz jaka jest tendencja. A potem idź za tym.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 22:10

Wsk. Popatrz na ciąg \(\displaystyle{ b_n=2-a_n}\). Jakie równanie rekurencyjne on spełnia?

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 22:20

nie do końca rozumiem... jakie jest to równanie ? każdy n-ty element ciągu bn = 2 - n-ty element ciagu an. Jest tu jakieś charakterystyczne równanie ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 22:25

Nie. Po prostu zdefiniuj sobie nowy ciąg w taki sposób. I spróbuj:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=2-a_{n+1}=2+\frac{a_n^2}{2}-2a_n=2+\frac{(2-b_n)^2}{2}-2(2-b_n)=...}\)
Wylicz do końca i zobacz, co wyjdzie.

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 22:38

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( b_{n})^2}\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 22:41

Ano własnie. \(\displaystyle{ b_1=???}\). Zachowanie ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) bardzo łatwo zbadać. Potrafisz?

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 23:09

skąd wiadomo ile równa się \(\displaystyle{ b_1}\) ? Mamy:
\(\displaystyle{ b_{2} = \left( \frac{1}{2} \right) ^1 \left( b_{1} \right) ^2 ; \\ b_{3} = \left( \frac{1}{2} \right) ^3 \left( b_{1} \right) ^4 ;\\ b_{4} = \left( \frac{1}{2} \right) ^7 \left( b_{1} \right) ^8}\) ,
jest tu widoczna rekurencja nie potrafię jednak jej zgrabnie opisać...
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 01:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 23:21

A wiesz ile to jest \(\displaystyle{ a_1}\)?

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 23:33

\(\displaystyle{ a_{1}}\) w ciągu, który przywołałem w treści ? równa się 1... ale co to ma do tego nowego ciągu?...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 23:40

a jak jest zdefiniowany nowy ciąg?

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 12 lis 2017, o 23:50

\(\displaystyle{ b_n = 2 - a_n , b_1 = 2 - a_1 , b_2 = 2 - a_2}\) itd. co to daje ?
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 01:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 23:56

Skoro \(\displaystyle{ a_1=1}\) i \(\displaystyle{ b_1=2-a_1}\),to \(\displaystyle{ b_1=?}\)

jaodryska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 25 gru 2016, o 10:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja
Podziękował: 8 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: jaodryska » 13 lis 2017, o 00:01

no oczywiście że \(\displaystyle{ 1}\), to oznacza że \(\displaystyle{ b_2 = 2}\) itd ? jeśli tak to jak to wpływa na rozwiązanie ?
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 01:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Rozstrzygnij czy ciąg jest monotoniczny

Post autor: a4karo » 13 lis 2017, o 00:03

A niby dlaczego? Przecież \(\displaystyle{ b_2=b_1^2/2}\)

ODPOWIEDZ