Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

Post autor: lolo666 » 12 lis 2017, o 21:22

Mam wykazać, że ten zbiór jest nieprzeliczalny. Wiem, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, natomiast zbiór liczb rzeczywistych nie jest - bezpośredniego tego nie dowodziłem, a bardziej skorzystałem z zadania, w którym miałem dowieść, że zbiór (0,1) jest nieprzeliczalny (z kolei nie rozumiem za bardzo tego dowodu, co na ćwiczeniach dowodziliśmy).
Mam pomysł, żeby skorzystać z poprzednich zadań - liczby wymierne i przedział (0,1), a potem pokazać, że (właściwie to pytam, bo moim celem będzie pokazać, że hipoteza ta jest fałszywa), że jeśli zbiór liczb niewymiernych jest przeliczalny i zbiór liczb wymiernych również, to zbiór liczb rzeczywistych również powinien być, co jest oczywiście fałszywe.

I moje pytanie: czy dobrze rozumuję czy ten sposób rozwiązywania zadań jest błędny (jeśli jest, bardzo bym chciał o jakieś wskazówki, jak to robić poprawnie). Bardzo chcę zdać analize, więc proszę o dobre rady, Matematycy

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: szw1710 » 12 lis 2017, o 21:46

Bardzo dobrze rozumujesz. Przez sprowadzenie do niedorzeczności czyli nie wprost.

A może zrobisz takie ćwiczenie: liczba algebraiczna to taka, która jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą algebraiczną, bo jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-2}\). Liczby \(\displaystyle{ \pi}\) oraz \(\displaystyle{ e}\) nie są algebraiczne. Spróbuj wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 22:03

szw1710 pisze:Spróbuj wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.
No jak na analizę to dość trudne zadanie...

JK

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: szw1710 » 12 lis 2017, o 22:12

Przeoczyłem. Owszem, to podchodzi bardziej pod teorię mnogości, ale nie jest aż tak trudne.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 22:16

Aż tak trudne nie jest, ale wymaga trochę przygotowania.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19214
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 22:17

Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 22:19

a4karo pisze:Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?
Nie, ale zadanie zostało w zasadzie zrobione przez pytającego.

JK

lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

Post autor: lolo666 » 12 lis 2017, o 22:25

Mam nadzieję, że jak tak napiszę tego typu zadanie na kolokwium, to nie będzie z tym problemu.
Co do tego ćwiczenia to może spróbuję to wykazać Pierwiastki będą zależeć od współczynników wielomianu,a jeśli współczynniki są całkowite, to zbiór tych współczynników jest przeliczalny. Więc z pierwiastkami będzie podobnie, ale mogę się mylić, czy to w tym kierunku trzeba iść w tym zadaniu.

PS. Pytanie moje polegało na tym, czy takie dowodzenie jest dobre czy może mało konkretne.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 22:36

lolo666 pisze:Co do tego ćwiczenia to może spróbuję to wykazać Pierwiastki będą zależeć od współczynników wielomianu,a jeśli współczynniki są całkowite, to zbiór tych współczynników jest przeliczalny. Więc z pierwiastkami będzie podobnie, ale mogę się mylić, czy to w tym kierunku trzeba iść w tym zadaniu.
W tę stronę, z tym, że w zasadzie jeszcze nie zacząłeś iść...
lolo666 pisze:PS. Pytanie moje polegało na tym, czy takie dowodzenie jest dobre czy może mało konkretne.
Sam sposób jest w tym zadaniu jest dobry. W opisie należałoby dodać, że rozumujesz nie wprost.

JK

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazac, że zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczal

Post autor: szw1710 » 12 lis 2017, o 22:38

Bardzo dobrze kombinujesz z tymi liczbami algebraicznymi. Dla mnie liczy się myślenie, a jak widzę, Ty umiesz pomyśleć i masz dobre intuicje.

Ale dokładnie to będzie tak: każdy wielomian niezerowy ma skończenie wiele pierwiastków. Wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele, więc i wszystkich wielomianów o współczynnikach całkowitych jest przeliczalnie wiele. Dlatego jest przeliczalnie wiele ich pierwiastków.-- 12 lis 2017, o 22:59 --
a4karo pisze:Pytanie tylko czy coś wnosi do zadania?
Wiesz, że często lubię zadać ćwiczenie wokół tematu, gdy widzę, że człowiek umie myśleć. Mniejsze znaczenie ma dla mnie, że do przedmiotowego zadania to nic nie wnosi. Wnosi... wiedzę do głowy.

ODPOWIEDZ