Zbieżność ciągu funkcyjnego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

Zbieżność ciągu funkcyjnego

Post autor: degel123 » 12 lis 2017, o 20:39

Witam czy poniższy tok rozumowania jest w 100% poprawny? Miałem policzyć zbieżność pkt i jednostajną funkcji takiej jaka jest w module w pierwszej linijce w R

\(\displaystyle{ \sup_{x \in R}\left| sin \frac{x}{n} \right|=\sup_{x \ge 0}sin \frac{x}{n}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=cos \frac{x}{n} \cdot \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow cos \frac{x}{n}=0 \Leftrightarrow \frac{x}{n} = \frac{ \pi }{2} \Leftrightarrow x= \frac{n \cdot \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{n \cdot \pi }{2})=1 \Rightarrow}\) brak zbieżności jednostajnej

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15210
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbieżność ciągu funkcyjnego

Post autor: Premislav » 12 lis 2017, o 21:40

OK, tylko nie widzę nic na temat zbieżności punktowej. Oczywiście ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \left( \sin \frac x n\right)}\) jest punktowo zbieżny do zera, bo dla ustalonego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin \frac x n=0}\).
Dalej badamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \sup_{x \in \RR}\left| \sin \frac x n-0\right| \right) =\lim_{n \to \infty } \left( \sup_{x \in \RR}\left| \sin \frac x n\right| \right)}\)
i Twoje obliczenia pokazują, że to nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\), zatem ciąg funkcyjny z zadania nie jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \RR}\).

ODPOWIEDZ