Dowód na macierzach

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
karol235
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 mar 2017, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Dowód na macierzach

Post autor: karol235 » 12 lis 2017, o 20:34

Cześć. mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ A,B}\) będą macierzami wymiaru n×n. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A+B}\) jest macierzą odwracalną, to

\(\displaystyle{ A(A + B)^{-1} B = B(A + B)^{-1} A.}\)

Rozwiązałem to, dla przypadku gdy A oraz B są macierzami odwracalnymi. Ale nie potrafię zrobić tego, dla przypadku, gdy nie są odwracalne.
Mógłby ktoś nakierować?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 20:36 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

Re: Dowód na macierzach

Post autor: timon92 » 12 gru 2017, o 16:38

wystarczy dodać do obu stron macierz \(\displaystyle{ A(A+B)^{-1}A}\) i powyciągać przed nawias to co się da

karol235
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 mar 2017, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: Dowód na macierzach

Post autor: karol235 » 12 gru 2017, o 17:14

i wtedy dochodzimy do sytuacji takiej:
\(\displaystyle{ BA = AB}\)
co nie zachodzi dla każdej macierzy, a ponieważ miało zachodzić dla każdej, to oznacza to sprzeczność?

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

Re: Dowód na macierzach

Post autor: timon92 » 12 gru 2017, o 18:28

jeśli dostajesz \(\displaystyle{ BA=AB}\), to znaczy, że coś robisz nie tak

\(\displaystyle{ A(A+B)^{-1}A + A(A+B)^{-1}B=A(A+B)^{-1}(A+B) = A}\)

ODPOWIEDZ