Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
GeneralXavi

Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: GeneralXavi » 12 lis 2017, o 20:33

Rozwiąż równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ m}\).

\(\displaystyle{ x^{2} - (m-1)x - m = 0}\)

Robiłem to na zasadzie obliczania delty i potem kolejnej delty, ale wyszło mi tylko jedno rozwiązanie. Pełna odpowiedź brzmi:
Jeżeli \(\displaystyle{ m = -1}\), to \(\displaystyle{ x = -1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ m\in\RR\setminus\{-1\}}\), to \(\displaystyle{ x = -1}\) lub \(\displaystyle{ x =m}\).
Proszę o pomoc

(przykład z Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona)
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: kerajs » 12 lis 2017, o 20:43

\(\displaystyle{ x^{2} - \left( m-1 \right) x - m = 0\\ \left( x- \frac{m-1}{2} \right) ^2- \frac{ \left( m-1 \right) ^2}{4}-m=0\\ \left( x- \frac{m-1}{2} \right) ^2= \frac{ \left( m+1 \right) ^2}{4}\\ \left|x- \frac{m-1}{2} \right| =\left| \frac{m+1}{2}\right|}\)
a) Jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m=-1}\) :
\(\displaystyle{ x= -1}\)
b) Dwa rozwiązania dla pozostałych m:
\(\displaystyle{ x_1= \frac{m-1}{2}+ \frac{m+1}{2}=m \vee x_2= \frac{m-1}{2}- \frac{m+1}{2}=-1}\)

EDIT:
A4karo pokazał najprostsze i eleganckie rozwiązanie.
Delta:    
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 22:03 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.

GeneralXavi

Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: GeneralXavi » 12 lis 2017, o 20:53

Jest jeszcze jakiś inny sposób na rozwiązanie?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 21:04

Zapisz równanie w postaci
\(\displaystyle{ (x+1)(x-m)=0}\) i przeanalizuj.

GeneralXavi

Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: GeneralXavi » 12 lis 2017, o 23:51

a4karo pisze:
Ukryta treść:    
Ok, udało mi się doprowadzić do takiej postaci. No, ale niezbyt wiele mi to mówi. :/
Widzę, że jeżeli \(\displaystyle{ x=m}\), to będzie \(\displaystyle{ 0=0}\). Czyli niby nieskończenie wiele rozwiązań.
Ale wciąż nie wiem "jak mogę wycisnąć więcej wniosków" z tej postaci.
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 01:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: a4karo » 12 lis 2017, o 23:58

To równanie ma dwa pierwiastki : -\(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ m}\). Kiedy te dwa pierwiastki nie są dwoma pierwiastkami?

GeneralXavi

Re: Równanie z niewiadomą x i parametrem m

Post autor: GeneralXavi » 13 lis 2017, o 00:06

Kiedy\(\displaystyle{ m = -1}\). Czyli wtedy jest jeden pierwiastek, po prostu \(\displaystyle{ x=-1}\). Jak \(\displaystyle{ m}\) jest inne, to są dwa pierwiastki, \(\displaystyle{ -1}\) i ten drugi równy \(\displaystyle{ m}\).

Dzięki
Ostatnio zmieniony 13 lis 2017, o 01:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

ODPOWIEDZ