Równanie zepolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Równanie zepolone

Post autor: shreder221 » 12 lis 2017, o 18:10

Dobry wieczór
Mam problem z równaniem
\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)

Dochodzę do momentu
\(\displaystyle{ Re^{2} (z) +Im^{2} (z) - 2Im(z) -1=0}\)
I dalej nie mogę w żaden sposób pójść. Moglibyście podpowiedzieć co dalej zrobić??
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 19:34 przez shreder221, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Równanie zepolone

Post autor: kerajs » 12 lis 2017, o 18:16

A jak doszedłeś do tego ,,momentu'?
początek_rozwiązania:    

shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Równanie zepolone

Post autor: shreder221 » 12 lis 2017, o 19:33

ojjj przepraszam nie zapisałem modułu ;(

\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^{2} + (b-1)^{2}}= \sqrt{a^{2} + (b+2)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4(a^{2} +b^{2} -2 b +1) =a^{2} + b^{2} + 4b +4}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -2 b -1 =0}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Równanie zepolone

Post autor: kerajs » 12 lis 2017, o 20:01

shreder221 pisze:ojjj przepraszam nie zapisałem modułu ;(

\(\displaystyle{ 2|z-i|=|z+2i|}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^{2} + (b-1)^{2}}= \sqrt{a^{2} + (b+2)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4(a^{2} +b^{2} -2 b +1) =a^{2} + b^{2} + 4b +4}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -2 b -1 =0}\)
Raczej:
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -4 b =0\\ a^2+(b-2)^2=2^2}\)

shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równanie zepolone

Post autor: shreder221 » 12 lis 2017, o 21:24

Rzeczywiście nie pomnożyłem tam jedynki ;(

\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2 \Rightarrow \begin{cases} b=2\\ a=|2| \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z=2+2i \vee z=-2-i}\)

Zgadza się?
I teraz mam narysować te zbiory. Czyli w tym przypadku mamy zbiór tylko 2 elementowy?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Równanie zepolone

Post autor: kerajs » 12 lis 2017, o 21:52

shreder221 pisze:\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)
Odległość liczb \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ i2}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\), więc od razu widać że liczby \(\displaystyle{ z}\) tworzą okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ i2}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\)
shreder221 pisze:\(\displaystyle{ |z-2i| =2}\)

\(\displaystyle{ |a+(b-2)i|=2}\)
Gdy tego nie czujesz to wyliczasz
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(b-2)^2}=2\\ a^2+(b-2)^2=2^2}\)
i dostajesz równanie tego okręgu.

ODPOWIEDZ