Izolak, izolak

[max123321]

Punkt \(\displaystyle{ a}\) w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right)}\) jest izolowany, jeśli \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}}\) jest zbiorem otwartym. Przestrzeń topologiczna jest dyskretna, jeśli wszystkie jej punkty są izolowane.
Niech \(\displaystyle{ T_k,T_r}\) będą topologiami generowanymi przez metryki kolejową i rzekę.

a)Określić zbiór nieprzeliczalny \(\displaystyle{ Y \subset \RR^2}\), taki, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ \left( Y,(T_k)_y\right)}\) jest dyskretna, ale podprzestrzeń \(\displaystyle{ \left( Y,(T_r)_y\right)}\) nie ma punktów izolowanych.
b)Określić zbiór nieprzeliczalny \(\displaystyle{ Y \subset \RR^2}\), taki, że obie przestrzenie \(\displaystyle{ \left( Y,(T_k)_y\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y,(T_r)_y\right)}\) mają dokładnie jeden punkt izolowany.

Dobra to weźmy na razie a). Może ktoś podać przykład takiego punktu izolowanego w jakiejś przestrzeni?

[Premislav]

a) weźmy dla ustalenia uwagi węzeł w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i rozważmy taką rodzinę półprostych postaci
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) przebiega liczby rzeczywiste. Suma takiej rodziny jest oczywiście nieprzeliczalnym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\), własności łatwo można sprawdzić: zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \left( Y,(T_k)_y\right)}\) są postaci \(\displaystyle{ Y\cap U}\) dla \(\displaystyle{ U}\) otwartych w \(\displaystyle{ (\RR^2, T_k)}\).
b) \(\displaystyle{ \left\{ (0,0)\right\} \cup \left( \left( 1,+\infty\right)\times\left\{ 0\right\} \right)}\). Jedyny punkt izolowany w obu przypadkach to \(\displaystyle{ (0,0)}\) - dlaczego?

[max123321]

Hmm nie bardzo rozumiem. Dlaczego ta Twoja przestrzeń jest dyskretna w a)?

[Premislav]

To już pytanie dla Ciebie, student ma myśleć samodzielnie. Popatrz, jak wyglądają kule w metryce kolejowej (kiedy to są odcinki na prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (0,0)}\), kiedy otwarte kółka, kiedy takie „lizaki"), a następnie weź pod uwagę to, co pisałem o zbiorach otwartych w
\(\displaystyle{ \left( Y,(T_k)_y\right)}\).

[max123321]

Ale co to jest to: \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right)}\)? Ten punkt izolowany to jest \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\)??

[Premislav]

\(\displaystyle{ \left\{x\right\}\times (1, +\infty)}\) to jest półprosta (bez tego punktu końcowego). Dla ustalonego \(\displaystyle{ x_1\in \RR}\) mamy

\(\displaystyle{ \left\{ x_1\right\} \times (1+\infty)=\left\{ (x_1,y) \in \RR^2: y>1\right\}}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \left\{ x_1\right\} \times (1+\infty)=\left\{ (x_1,y) \in \RR^2: y>1\right\}}\)

Nie mogłem się opanować i wylazł ze mnie formalista: to jest zapis przy pomocy operacji i powinno być

\(\displaystyle{ \left\{ (x_1,y): y>1\right\}}\).

JK

[Premislav]

OK, mea culpa.-- 13 lis 2017, o 16:27 --Aha, poprawka:

weźmy dla ustalenia uwagi węzeł w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i rozważmy taką rodzinę półprostych postaci
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) przebiega liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste bez zera Inaczej się psuje na półprostej bez końca\(\displaystyle{ \left\{0 \right\} \times\left( 1,+\infty\right)}\), bo prosta, której częścią jest ta półprosta, przechodzi przez \(\displaystyle{ (0,0).}\)

[max123321]

No dobra, ale ja chciałem sam początek zrozumieć. Weźmy zbiór \(\displaystyle{ \RR^2}\) i metrykę kolejową. Ty wskazałeś jako zbiór, zbiór półprostych bez początku. Zgadzam się, że jest to zbiór nieprzeliczalny. Ale z resztą to się średnio zgadzam. Punkt \(\displaystyle{ (5,5)}\) należy do wskazanego przez Ciebie zbioru. To udowodnij mi, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (5,5)\right\}}\) jest otwarty, bo jakoś tego nie widzę.

[Premislav]

Bardzo przepraszam za zamieszanie w tym wątku. Teraz to nie żart: wyobraziłem sobie, że istnieją dwie kolejne liczby rzeczywiste, dobry agent ze mnie (pomyliłem z całkowitymi). Przecież suma mnogościowa tych półprostych to jest zbiór \(\displaystyle{ (\RR\setminus\left\{ 0\right\})\times \left( 1,+\infty\right)}\), który nie spełnia warunków zadania. Ale przykład bardzo łatwo naprawić, biorąc konkretną półprostą. Tj. warunki zadania spełnia dowolna półprosta postaci \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}\times\left( b,+\infty\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ b>0}\) i \(\displaystyle{ a\neq 0}\).
możemy choćby wziąć \(\displaystyle{ Y=\left\{ 5\right\} \times\left( 1,+\infty\right)}\).
Jeżeli mamy przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) (\(\displaystyle{ \tau}\) to pewna rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), które uznajemy za nasze zbiory otwarte) i zbiór \(\displaystyle{ Y\subset X}\), to możemy określić sobie topologię podprzestrzeni: za zbiory otwarte w \(\displaystyle{ (Y, \tau_Y)}\) uznajemy dokładnie te zbiory, które są postaci \(\displaystyle{ U\cap Y}\) dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ U\in \tau}\) (tj. otwartego w przestrzeni \(\displaystyle{ (X, \tau)}\)) - porządnie to się wprowadza przez bazę, której elementy są przekrojami elementów bazy \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) i zbioru \(\displaystyle{ Y}\).
To teraz przestrzeń metryczna i jej podprzestrzeń: mamy sobie przestrzeń metryczną
\(\displaystyle{ (X, d)}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to pewien zbiór, zaś \(\displaystyle{ d: X imes X
ightarrow [0,+infty)}\) jest metryką (tj. funkcją spełniającą odpowiednie warunki, które pewnie znasz).
Niech teraz \(\displaystyle{ Y\subset X}\), wtedy możemy sobie określić podprzestrzeń \(\displaystyle{ (Y, d_Y)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ (X,d)}\), najprościej tak myśleć o tym, że każda kula w \(\displaystyle{ (Y, d_Y)}\) jest częścią wspólną pewnej kuli w \(\displaystyle{ (X, d)}\) i zbioru \(\displaystyle{ Y}\).

Teraz przejdźmy do Twojego przykładu, o który pytasz: zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (5,5)\right\}}\) nie jest oczywiście otwarty w \(\displaystyle{ \RR^2}\) z metryką kolejową, zresztą chyba nigdzie tak nie stwierdziłem. Natomiast zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (5,5)\right\}}\) jest otwarty w takiej podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ \left\{ 5\right\} \times\left( 1,+\infty\right)}\), rozumianej jako podprzestrzeń \(\displaystyle{ (\RR^2, T_k)}\).
Jak wyglądają kule w metryce kolejowej, do których nie należy punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) i mające środek w pewnym punkcie \(\displaystyle{ (x,x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \RR\setminus\left\{ 0\right\}}\)
Są to takie odcinki otwarte (tj. bez końców) na prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Na przykład odcinek bez końców na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) od punktu \(\displaystyle{ (4,4)}\) do punktu \(\displaystyle{ (6,6)}\) jest w metryce kolejowej kulą o środku w \(\displaystyle{ (5,5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Jest tak, ponieważ jeśli punkty \(\displaystyle{ u,v}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{0}=(0,0)}\) są współliniowe, to odległość \(\displaystyle{ u}\) od \(\displaystyle{ v}\) w metryce kolejowej jest równa ich odległości w metryce euklidesowej.
No to teraz niech \(\displaystyle{ Y= \left\{ 5\right\}\times (1,+\infty)}\) i oznaczmy jako \(\displaystyle{ B_1}\) tę kulę w metryce kolejowej o środku w \(\displaystyle{ (5,5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (czyli ten odcinek bez końców), wówczas mamy
\(\displaystyle{ \left\{ (5,5)\right\} =Y \cap B_1}\), jest to zatem przekrój kuli w \(\displaystyle{ (\RR^2, T_k)}\) i zbioru \(\displaystyle{ Y}\).
Nieprzeliczalność zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest raczej oczywista.

Tak przynajmniej zapamiętałem z kursu topologii, nie używałem wprawdzie od dawna tej wiedzy (tylko przez jeden semestr później w ogóle jej używałem, na analizie funkcjonalnej 1, ew. jakieś strzępki na rachunku prawdopodobieństwa/statystyce).

[max123321]

Aha no dobra to mi chyba trochę wyjaśniło, bo ja na to inaczej patrzyłem. Czyli według tego co mówisz ta kula zawierająca \(\displaystyle{ \left( 5,5\right)}\) to jest zbiór: \(\displaystyle{ \left\{ (5,y):y \in \left( 5- \sqrt{2},5+ \sqrt{2} \right) \right\}}\) ta?

[Premislav]

Ale w której metryce? Warto mieć to na uwadze. Jest to kula o środku w punkcie \(\displaystyle{ (5,5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) w metryce rzeka, nie jest w kolejowej.

[max123321]

Ale czekaj, to który zbiór jest izolowany w kolejowej, a który w rzece? Coś nie łapię.

[Premislav]

Nie pojawiło się tutaj takie pojęcie, jak zbiór izolowany.

Każdy punkt zbioru \(\displaystyle{ Y=\left\{ 5\right\} \times (1,+\infty)}\) można zapisać w postaci przekroju zbioru \(\displaystyle{ Y}\) i pewnej kuli w \(\displaystyle{ \RR^2}\) z metryką kolejową, stąd wniosek, że
\(\displaystyle{ (Y, (T_k)_y)}\) jest przestrzenią dyskretną (każdy punkt w tym zbiorze jest punktem izolowanym), z drugiej strony jeśli \(\displaystyle{ y>1}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), że \(\displaystyle{ \left\{ 5\right\}\times (y-\epsilon, y+\epsilon) \subset \left\{5\right\}\times (1,+\infty)}\) (np. \(\displaystyle{ \epsilon=\frac{y-1}{2}}\)), więc żaden punkt w \(\displaystyle{ (Y, (T_r)_y)}\) nie jest punktem izolowanym.

[max123321]

Ok pokaż mi na tym zbiorze, że ten punkt z \(\displaystyle{ {5}}\) jest izolowany.