Suma i przekrój uogólniony

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
michalm08
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 12 lis 2017, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Suma i przekrój uogólniony

Post autor: michalm08 » 12 lis 2017, o 17:41

Niech \(\displaystyle{ A_{n} :=\{(x,y) \in \RR^{2} ; y\ge 2nx\}, n \in \NN}\). Znaleźć i naszkicować zbiory \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} A_n}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n \in \NN} A_n}\) .

pierwszy raz widze tego typu zadania i nie wiem jak je zrobic. wykladowca srednio tlumaczy i nie moge wyczytac nic produktywnego z notatek, ktoś coś?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 19:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Suma i przekrój uogólniony

Post autor: pawlo392 » 12 lis 2017, o 17:47

Musisz poprawić treść.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Suma i przekrój uogólniony

Post autor: kerajs » 12 lis 2017, o 18:28

W układzie współrzędnych XOY narysuj (najlepiej różnymi kolorami):
1) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 2x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_1}\))
2) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 4x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_2}\))
3) zbiór opisany nierównością \(\displaystyle{ y \ge 6x}\) (czyli zbiór \(\displaystyle{ A_3}\))
.......
Teraz wskaż zbiór będący
a)sumą tych zbiorów
b) częścią wspólną tych zbiorów

PS
Jeśli zero uważasz za naturalne, to dochodzi jeszcze rysunek zbioru \(\displaystyle{ A_0}\) opisanego nierównością \(\displaystyle{ y \ge 0}\)

edyta111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 16 lis 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: edyta111 » 18 lis 2020, o 17:51

Jak możemy zapisać te sumę i iloczyn?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lis 2020, o 19:52

W zadaniu masz "naszkicować", więc powinnaś narysować te zbiory w układzie współrzędnych.

JK

edyta111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 16 lis 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: edyta111 » 18 lis 2020, o 22:42

Chciałabym wiedzieć dla siebie samej. Rozumiem, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n=\{(0, 0)\}}\), ale nie umiem zapisać sumy.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3147
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: Janusz Tracz » 18 lis 2020, o 22:59

edyta111 pisze:
18 lis 2020, o 22:42
Rozumiem, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n=\{(0, 0)\}}\)
To nie jest prawda. Zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}A_n}\) jest dużo większy, w szczególności cała druga ćwiartka układu się tam mieści (i połowa trzeciej też). Więc zapisanie tego bez \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{} }\) czy \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} }\) nie jest, aż tak trywialne* i wymaga to chwili namysłu.

* No chyba, że w taki sztuczny sposób
Ukryta treść:    

edyta111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 16 lis 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 6 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: edyta111 » 18 lis 2020, o 23:19

Mogę prosić o wytłumaczenie dlaczego tak duża jest część wspólna? Wciąż widzę tylko ten jeden punkt.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3147
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: Janusz Tracz » 18 lis 2020, o 23:25

Przykładowo, gdy \(\displaystyle{ x}\) jest ujemny, a \(\displaystyle{ y}\) dodatni (czyli dla całej \(\displaystyle{ 2}\) ćwiartki) to dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ y \ge 2nx}\) zatem taki punkt \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) należy do każdego ze zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A_2,A_3,...}\) zatem należy do ich części wspólnej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma i przekrój uogólniony

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lis 2020, o 23:58

Ja uważam, że lepiej patrzeć na to rysunkowo. Te zbiory to półpłaszczyzny wyznaczone przez pewne proste przechodzące przez zero i wraz ze zmianą \(\displaystyle{ n}\) te półpłaszczyzny obracają się.

JK

ODPOWIEDZ