zadanie tekstowe z pochodną

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ursus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 9 wrz 2007, o 20:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

zadanie tekstowe z pochodną

Post autor: ursus » 23 wrz 2007, o 20:22

Witam, mam takie zadanie:
Jaki prostokąt o obwodzie 20 cm ma najkrótkszą przekątną ?
Próbowałem robić ale się zakopałem
Proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

zadanie tekstowe z pochodną

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 wrz 2007, o 20:31

Z treści zadania mamy
\(\displaystyle{ a+b=10}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\sqrt{100-2ab}}\)
Przekątna będzie najkrótsza gdy \(\displaystyle{ 2ab}\) będzie przyjmowało wartość największą, a podstawiając z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 2ab=2a(10-a)=-2a^{2}+20a}\) liczysz maksimum funkcji kwadratowej i otrzymujesz wynik

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zadanie tekstowe z pochodną

Post autor: luka52 » 23 wrz 2007, o 21:15

polskimisiek pisze:liczysz maksimum funkcji kwadratowej
Wystarczy przekształcić do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ -2a^2 + 20 a = -2 (a^2 - 10a) = -2 ( (a - 5)^2 - 25) = -2(a-5)^2 + 50}\)
Stąd możemy wysunąć śmiały wniosek, iż
ursus pisze:Jaki prostokąt o obwodzie 20 cm ma najkrótkszą przekątną ?
to prostokąt "kwadratowy"

ODPOWIEDZ