Iloczyn kartezjański zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: login1977 » 12 lis 2017, o 16:05

Nie rozumiem następującej definicji: \(\displaystyle{ X \times Y=\left\{ f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow X \cup Y;f(1) \in X \wedge f(2) \in Y \right\}}\) Nie rozumiem dlaczego w definicji jest funkcja skoro argumentowi 1 może odpowiadać więcej niż jedna wartość.-- 12 lis 2017, o 17:10 --Już chyba rozumiem. Argumentami są funkcje.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 19:20

Argumentami czego?

To, co przytoczyłeś, to (niezbyt moim zdaniem szczęśliwa) próba uzasadnienia, że uogólniony iloczyn kartezjański jest faktycznie uogólnieniem "zwykłego" iloczynu kartezjańskiego. I dlatego definiuje się iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X\times Y}\) nie "po ludzku", czyli jako zbiór par uporządkowanych, tylko właśnie jako szczególny przypadek ogólnej definicji, czyli jako zbiór pewnych funkcji określonych na zbiorze dwuelementowym.

JK

login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: login1977 » 12 lis 2017, o 19:54

Argumentami funkcji f powinny być elementy 1 i 2.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 20:02

login1977 pisze:Argumentami funkcji f powinny być elementy 1 i 2.
No i są.

Ale co miało znaczyć to?
login1977 pisze:Już chyba rozumiem. Argumentami są funkcje.
JK

login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: login1977 » 12 lis 2017, o 20:05

To był błąd ale i tak nie bardzo rozumiem tą definicję.-- 12 lis 2017, o 21:08 --Wiem tylko że poprzednikem i następnikiem pary uporządkowanej są wartości funkcji f.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 12 lis 2017, o 20:11

No cóż, w zrozumieniu może pomóc definicja uogólnionego iloczynu kartezjańskiego.

Zauważ, że funkcja z definicji jest zbiorem par, zatem \(\displaystyle{ f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow X \cup Y}\) to zbiór \(\displaystyle{ \{\left\langle 1, f(1)\right\rangle, \left\langle 2, f(2)\right\rangle \}}\). Związek tej definicji ze zwykłą jest taki, że zbiór \(\displaystyle{ \{\left\langle 1, f(1)\right\rangle, \left\langle 2, f(2)\right\rangle \}}\) utożsamiasz z parą \(\displaystyle{ \left\langle f(1), f(2)\right\rangle}\).

JK

login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 2 razy

Re: Iloczyn kartezjański zbiorów

Post autor: login1977 » 12 lis 2017, o 20:52

Właśnie to utożsamienie sprawiło najwięcej kłopotu w zrozumieniu.

ODPOWIEDZ