Do zadania z ciągłości funkcji potrzebuję obliczyć bez używania reguły de l'Hospitala granicę lewostronną w zerze:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{ \sqrt[3]{1+3x}-1}{2x}=\left[ \frac{0}{0} \right]}\)
Rozszerzam tak aby na górze powstał wzór skróconego mnożenia trzeciej potęgi. Zostaje nam: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{3x}{2x(( \sqrt[3]{1+3x})^{2}+\sqrt[3]{1+3x}+1)}}\)
Trochę oszukałem zadanie i z H wyszło mi że powinno się równać 1/2, a tu jakoś brzydko wychodzi :/
EDIT: Po skróceniu xów elegancko wychodzi 3/6 więc wszystko się zgadza. Chwilowe zaćmienie mózgu
Temat do zamknięcia
Połóżmy \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{1+3x}}\), wówczas \(\displaystyle{ x= \frac{t^3-1}{3}}\)
i otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 1^{-}} \frac{t-1}{ \frac{2}{3}\left( t^3-1\right) }}\)
W mianowniku zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i wyjdzie.-- 12 lis 2017, o 14:53 --Aha, teraz widzę, że już sobie poradziłeś…
