Granica bez l'Hospitala

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
p1udrak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 29 sty 2017, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wwl
Podziękował: 3 razy

Granica bez l'Hospitala

Post autor: p1udrak » 12 lis 2017, o 13:43

Do zadania z ciągłości funkcji potrzebuję obliczyć bez używania reguły de l'Hospitala granicę lewostronną w zerze:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{ \sqrt[3]{1+3x}-1}{2x}=\left[ \frac{0}{0} \right]}\)
Rozszerzam tak aby na górze powstał wzór skróconego mnożenia trzeciej potęgi. Zostaje nam:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{-} } \frac{3x}{2x(( \sqrt[3]{1+3x})^{2}+\sqrt[3]{1+3x}+1)}}\)
Trochę oszukałem zadanie i z H wyszło mi że powinno się równać 1/2, a tu jakoś brzydko wychodzi :/

EDIT: Po skróceniu xów elegancko wychodzi 3/6 więc wszystko się zgadza. Chwilowe zaćmienie mózgu
Temat do zamknięcia ;)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica bez l'Hospitala

Post autor: Premislav » 12 lis 2017, o 13:52

Połóżmy \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{1+3x}}\), wówczas \(\displaystyle{ x= \frac{t^3-1}{3}}\)
i otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 1^{-}} \frac{t-1}{ \frac{2}{3}\left( t^3-1\right) }}\)
W mianowniku zastosuj wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i wyjdzie.-- 12 lis 2017, o 14:53 --Aha, teraz widzę, że już sobie poradziłeś…

ODPOWIEDZ