Metryka kolejowa

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Metryka kolejowa

Post autor: max123321 » 11 lis 2017, o 21:33

Niech \(\displaystyle{ d_k:\RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR}\) będzie określone następującą formułą gdzie:
\(\displaystyle{ 0=(0,0)}\), a \(\displaystyle{ d_e}\) oznacza metrykę euklidesową w \(\displaystyle{ \RR^2}\).

\(\displaystyle{ d_k=\begin{cases} d_e(a,b) &\text{ jeśli } a,b,0 \text{ leżą na jednej prostej}\\ d_e(a,0)+d_e(b,0) &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}}\)

Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR^2,d_k)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie \(\displaystyle{ U}\) z każdą prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ 0}\) jest otwarte w topologii euklidesowej tej prostej i jeśli \(\displaystyle{ 0 \in U}\), to \(\displaystyle{ U}\) zawiera pewną kulę euklidesową o środku w \(\displaystyle{ 0}\).

Jak to zrozumieć i ogarnąć i rozwiązać?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: a4karo » 11 lis 2017, o 22:00

Pomyśl o tym tak: zbiór jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem zawiera wszystkie punkty, które są blisko niego.

Ta odległość jest dośc prosta do ogarnięcia:

Nazwa pochodzi stąd, że jedynymi drogami w przestrzeni sa półproste wychodzące z zera, a poruszać sie możesz tylko po tych drogach. Ta metryka mierzy odległość przy takim właśnie założeniu.

Zastanów się jakie punkty leżą blisko punktu \(\displaystyle{ a\neq 0}\) (innymi słowy jak wyglądają małę kule o środku w \(\displaystyle{ a}\). A jak wyglądają one gdy \(\displaystyle{ a=0}\)?

Awatar użytkownika
lukas1929
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 14 paź 2017, o 12:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Haugesund
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 9 razy

Metryka kolejowa

Post autor: lukas1929 » 11 lis 2017, o 22:13

max123321 pisze:Niech \(\displaystyle{ d_k:\RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR}\) będzie określone następującą formułą gdzie:
\(\displaystyle{ 0=(0,0)}\), a \(\displaystyle{ d_e}\) oznacza metrykę euklidesową w \(\displaystyle{ \RR^2}\).

\(\displaystyle{ d_k=\begin{cases} d_e(a,b) &\text{ jeśli } a,b,0 \text{ leżą na jednej prostej}\\ d_e(a,0)+d_e(b,0) &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}}\)
Chyba powinno być:

\(\displaystyle{ d_k:\RR \times \RR \rightarrow \RR}\)
Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR^2,d_k)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie \(\displaystyle{ U}\) z każdą prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ 0}\) jest otwarte w topologii euklidesowej tej prostej i jeśli \(\displaystyle{ 0 \in U}\), to \(\displaystyle{ U}\) zawiera pewną kulę euklidesową o środku w \(\displaystyle{ 0}\).

Jak to zrozumieć i ogarnąć i rozwiązać?
Najlepiej wychodząc od definicji.

W przestrzeni metrycznej zbiór U jest otwarty gdy:

\(\displaystyle{ \forall x \in U \ \exists r > 0 : K(x,r) \subset U}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ K(a,r) = \{x \in X: d(a,x) < r\}}\), gdzie (X,d) jest rozważaną przestrzenią metryczną

Przypuśćmy, że zbiór \(\displaystyle{ L}\) to dowolna prosta w \(\displaystyle{ R^2}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ 0}\)

Rozpisz z definicji co oznacza, że przecięcie L z U jest otwarte w topologii tej prostej i pokaż, że implikuje to definicje otwartości zbioru U. Potem odwrotnie pokaż że definicja otwartości U implikuje, że przecięcie każdej prostej przechodzącej przez 0 ze zbiorem U jest otwarte w topologii tej prostej. Przy uzasadnieniu musisz wykorzystać własność metryki \(\displaystyle{ d_k}\).

.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19224
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: a4karo » 11 lis 2017, o 22:18

Przestrzenią, na której okreslona jest metryka jest \(\displaystyle{ \RR^2}\), zatem \(\displaystyle{ d_k:\RR^2\times\RR^2\to\RR}\) jest poprawnym zapisem

Awatar użytkownika
lukas1929
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 14 paź 2017, o 12:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Haugesund
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 9 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: lukas1929 » 11 lis 2017, o 22:27

a4karo pisze:Przestrzenią, na której okreslona jest metryka jest \(\displaystyle{ \RR^2}\), zatem \(\displaystyle{ d_k:\RR^2\times\RR^2\to\RR}\) jest poprawnym zapisem
Zgadza się, odległość jest funkcją dwóch punktów.

.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: max123321 » 11 lis 2017, o 23:17

a4karo pisze: Zastanów się jakie punkty leżą blisko punktu \(\displaystyle{ a\neq 0}\) (innymi słowy jak wyglądają małę kule o środku w \(\displaystyle{ a}\). A jak wyglądają one gdy \(\displaystyle{ a=0}\)?
No jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to w metryce kolejowej to będą takie odcinki otwarte leżące na prostej łączącej zero z tym \(\displaystyle{ a}\). A w metryce euklidesowej to będą takie koła o środku w \(\displaystyle{ a}\).
Zgadza się? I to nas interesuje?

-- 12 lis 2017, o 00:39 --
lukas1929 pisze:
Rozpisz z definicji co oznacza, że przecięcie L z U jest otwarte w topologii tej prostej i pokaż, że implikuje to definicje otwartości zbioru U. Potem odwrotnie pokaż że definicja otwartości U implikuje, że przecięcie każdej prostej przechodzącej przez 0 ze zbiorem U jest otwarte w topologii tej prostej. Przy uzasadnieniu musisz wykorzystać własność metryki \(\displaystyle{ d_k}\).

.
Co to znaczy "w topologii tej prostej" ? Czy dla uproszczenia można przyjąć, że ta topologia tej prostej to jest po prostu zbiór podzbiorów tej prostej?

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: Pakro » 12 lis 2017, o 01:30

1. \(\displaystyle{ 0 \notin U}\), niech \(\displaystyle{ V}\) oznacza dowolną prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ 0}\) i przecinającą niepusto zbiór \(\displaystyle{ U}\)(zbiór pusty jest otwarty wiec to możemy sobie darować). Ustalmy \(\displaystyle{ (a,b) \in U \cap V}\). Istnieje \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ K((a,b),r) \subset U}\). Skoro \(\displaystyle{ 0 \notin U}\) to kula to przedział na prostej (narysuj sobie jak wyglądają kule w tej metryce - są takie dwa przypadki : przedziały na prostych lub przedziały na prostych i kule o środku w punkcie zero w metryce euklidesowej na\(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)). \(\displaystyle{ K((a,b),r)}\) to przedział na prostej \(\displaystyle{ V}\), czyli zbiór otwarty na tej prostej\(\displaystyle{ V}\) no i oczywiście \(\displaystyle{ K((a,b),r) \subset U \cap V}\), wiec jest to zbiór otwarty.
Próbuj dalej.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: max123321 » 12 lis 2017, o 13:53

Pakro pisze:1. \(\displaystyle{ 0 \notin U}\), niech \(\displaystyle{ V}\) oznacza dowolną prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ 0}\) i przecinającą niepusto zbiór \(\displaystyle{ U}\)(zbiór pusty jest otwarty wiec to możemy sobie darować). Ustalmy \(\displaystyle{ (a,b) \in U \cap V}\). Istnieje \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ K((a,b),r) \subset U}\).
Ale zaraz chwila. Jak rozumiem to dowodzisz implikację w prawo ta? Czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty ta? No dobra to powiedzmy, że do tej linijki rozumiem. Ale skąd wiesz, że kula w tej przestrzeni to odcinek? Przecież to ma być w topologii euklidesowej tej prostej, a nie w kolejowej. Co to znaczy, że w topologii euklidesowej tej prostej?

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: Pakro » 12 lis 2017, o 14:17

No to bedzie podobnie jak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Kulami tam sa przedzialy otwarte. Tutaj różnica jest taka, że mówimy o postych postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax}\). Czyli mam na myśli przedział na takiej prostej.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Metryka kolejowa

Post autor: max123321 » 13 lis 2017, o 10:37

Aha to ta metryka obowiązuje dla całego zadania, czyli zarówno dla \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) mamy metrykę kolejową, a nie euklidesową? Nie rozumiem co znaczy to sformułowanie "w topologii euklidesowej prostej".

Aha dobra chyba czaję. Przy założeniu, że cały czas mamy kolejową to tak: Bierzemy dowolny punkt \(\displaystyle{ (a,b)}\) należący do przecięcia. On należy do pewnej kuli w sensie z pewnym otoczeniem należy on do \(\displaystyle{ U}\), a to otoczenie wrazem punktem leży na prostej przechodzącej przez zero czyli należy też do \(\displaystyle{ V}\). Czyli można powiedzieć, że dowolny punkt należący do przecięcia pociąga za sobą należenie również jego otoczenia do przecięcia i z tego to powodu przecięcie jest otwarte ta?

-- 12 lis 2017, o 23:32 --

Może ktoś sprawdzić czy tak jest poprawnie?

Więc tak:
Bierzemy dowolny punkt \(\displaystyle{ (a,b)}\) należący do przecięcia. On należy do pewnej kuli w sensie z pewnym otoczeniem należy on do \(\displaystyle{ U}\), a to otoczenie wraz z punktem leży na prostej przechodzącej przez zero czyli należy też do \(\displaystyle{ V}\). Czyli można powiedzieć, że dowolny punkt należący do przecięcia pociąga za sobą należenie również jego otoczenia do przecięcia i z tego to powodu przecięcie jest otwarte tak?

W drugą mańkę: Zakładamy, że przecięcie \(\displaystyle{ U,V}\) jest otwarte. A przecięcie to to są odcinki otwarte. Jeśli \(\displaystyle{ U}\) całkowicie należy do \(\displaystyle{ V}\) to sprawa prosta bo wtedy ten zbiór jest po prostu otwarty. A jeśli nie należy całkowicie to załóżmy, że jakiś \(\displaystyle{ (a,b) \in U}\) i \(\displaystyle{ (a,b) \notin V}\). Ale wtedy punkt \(\displaystyle{ (a,b)}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y= \frac{b}{a}x}\), czyli de fakto należy do \(\displaystyle{ V}\). Sprzeczność. Tak więc cały \(\displaystyle{ U}\) musi się zawierać w \(\displaystyle{ V}\), a skoro ich przecięcie jest otwarte to i \(\displaystyle{ U}\) musi być otwarty ta?

ODPOWIEDZ