Podgrupa grupy macierzy odwracalnych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Podgrupa grupy macierzy odwracalnych

Post autor: Maslow » 11 lis 2017, o 16:42

Mam sprawdzić, czy zbiór

\(\displaystyle{ H:=\left\{ \begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}: a \in \mathbb{Z}\right\}}\)

tworzy podgrupę macierzy \(\displaystyle{ GL _{2}(\mathbb{R})}\)

Czyli wystarczy sprawdzić że wyznacznik dowolnej macierzy ze zbioru \(\displaystyle{ H}\) jest różny od zera ?

Czy coś jeszcze ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Podgrupa grupy macierzy odwracalnych

Post autor: a4karo » 11 lis 2017, o 16:56

Nie. trzeba jeszcze sprawdzić zamknięcie tego zbioru na działanie i branie elementu odwrotnego

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Podgrupa grupy macierzy odwracalnych

Post autor: Premislav » 11 lis 2017, o 17:04

Jasne że „coś jeszcze" Wiesz w ogóle, co to jest grupa czy podgrupa? Jak nie, to sprawdź, powinnaś mieć te definicje na zajęciach (jeżeli nie było Cię na zajęciach, to weź notatki od znajomych albo poczytaj np. tu https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematyka)).
Podpowiem, że jest to podgrupa \(\displaystyle{ GL_{2}(\RR)}\)
Najprościej to udowodnić tak:
wyznacznik macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ a\in \ZZ}\) (a nawet ogólniej, choćby i dla \(\displaystyle{ a\in \CC}\)) jest równy \(\displaystyle{ 1\neq 0}\), zatem \(\displaystyle{ H}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ GL_2(\RR)}\).
Ponadto:
1) element neutralny w \(\displaystyle{ GL_2(\RR)}\) z działaniem mnożenia macierzy, czyli \(\displaystyle{ I=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}}\), jest elementem \(\displaystyle{ H}\), wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=0}\);
2) jeżeli \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in \ZZ}\), to bezpośredni rachunek pokazuje, że \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1-a&a\\-a&1+a\end{bmatrix}}\) (obliczenia sobie przeprowadź), więc gdy \(\displaystyle{ A \in H}\), to także \(\displaystyle{ A^{-1}\in H}\)
3) Pokaż bezpośrednim rachunkiem (chyba macierze umiesz mnożyć), że gdy
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1+a&-a\\a&1-a\end{bmatrix}, \ a \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1+b&-b\\b&1-b\end{bmatrix}, \ b \in \ZZ}\),
to macierz \(\displaystyle{ AB}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+c&-c\\c&1-c\end{bmatrix}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c \in \ZZ}\).
Łączności sprawdzać nie trzeba (czemu?).

Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Re: Podgrupa grupy macierzy odwracalnych

Post autor: Maslow » 11 lis 2017, o 20:22

Wiem co to są grupy i jak się to sprawdza. Po prostu do tej pory we wszystkich zadaniach było jasno wskazane o jakie działanie chodzi, np. sprawdź czy para (G,+) jest grupą. Tutaj nie ma napisanego działania i to mnie zmyliło, człowiek ma chyba prawo się pomylić od czasu do czasu, co nie ? Wolałam się więc zapytać, i wychodzi na to że dobrze zrobiłam bo wyprowadziliście mnie z błędu Bardzo dziękuję za pomoc

P.S.
I tak, umiem mnożyć macierze

ODPOWIEDZ