Korzystając z definicji wykazać, że

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Adam97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2017, o 07:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Adam97 » 10 lis 2017, o 07:09

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } =-1}\)

nie umiem poradzić sobie po dojściu do \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n ^{2}+1 }<e}\)

Z określonym epsilon nie mam problemu, ale moja głowa się zacina jak na to patrzę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: a4karo » 10 lis 2017, o 07:33

Podziel licznik I mianownik przez \(\displaystyle{ n}\) a potem szacuj licznik z góry przez 2 a z dołu przez n.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Rozbitek » 10 lis 2017, o 09:58

\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0} \exist_{n_0 \in \NN} \forall_{n \in \NN} \left| \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } +1 < \epsilon\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } + \frac{ n^{2}+1 }{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|}\)
Wyrażenie jest większe od zera (mam nadzieję, że to oczywiste), więc legitnie sobie opuszczamy wartość bezwzględną.

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon}\)

I rozumiem, że do tego momentu doszedłeś, o co nam właściwie chodzi?
Chodzi nam o to, żeby definicja była spełniona, czyli o pokazanie, że faktycznie istnieje takie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), że jest to prawda. Czyli liczymy de facto nierówność.

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{n ^{2} -1 + 2 } < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon}\)

EDIT:
tak nie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} < \epsilon}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon} < n+1}\)
\(\displaystyle{ n > \frac{1}{e} - 1}\)

Więc jest luz.
Nie ma tak dobrze!

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{n^2 - 1}{n+1}+ \frac{2}{n+1} } < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{n^2 + 1}{n+1} } < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2 + 1} } < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(n^2+1)^2} < \epsilon}\)

\(\displaystyle{ (n^2+1)^2 > \frac{1}{\epsilon}}\)

\(\displaystyle{ n^2+1 > \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}}}\)

\(\displaystyle{ n^2 > \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}} -1}\)

\(\displaystyle{ n > \sqrt{\sqrt{ \frac{1}{\epsilon}} -1}}\)

I teraz powinno być luz.
Ostatnio zmieniony 10 lis 2017, o 16:33 przez Rozbitek, łącznie zmieniany 2 razy.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: a4karo » 10 lis 2017, o 13:44

Rozbitek pisze:
\(\displaystyle{ \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} < \epsilon}\)


Więc jest luz.
To przejście to taki luzik?

Adam97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2017, o 07:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Adam97 » 10 lis 2017, o 15:02

Okej, jak widzę moja sprawność w matematyce mocno poszła w dół przez wakacje. Wielkie dzięki dla Was. Jeszcze pewnie będę pisał, ale to już o coś innego

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Premislav » 10 lis 2017, o 15:24

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon\\ \frac{1}{(n -1) +2} < \epsilon}\)
Jak by powiedział największy Polak w historii (serio, miał ponad 2 metry), „nie" (tzn. z Twojej pierwszej linijki wynika i druga, ale nie tego chcemy). Mamy przecież
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2+1} > \frac{1}{n+1}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Więc tak naprawdę to do uzasadnienia możliwe jest tylko to, ze
gdy \(\displaystyle{ \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon}\), to także
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<\epsilon}\), ale nie na odwrót!.
A tak naprawdę potrzebujesz wynikania w drugą stronę: należy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ n>\ldots}\), to wyrazy ciągu o takich indeksach \(\displaystyle{ n}\) leżą odpowiednio blisko \(\displaystyle{ -1}\). Z twojej wypowiedzi można tylko wywnioskować, że jeśli
wyrazy leżą dość blisko \(\displaystyle{ -1}\), to… a w ogóle nie o to nam tutaj chodzi.

Takie mechaniczne przekształcanie nierówności, bez pamiętania o równoważności przekształceń, to prosta droga do oceny niedostatecznej (niestety często w szkole pokazuje się takie podejście).

-- 10 lis 2017, o 16:32 --

A, sorry, był tu jeszcze jedne post usera Rozbitek, ale został usunięty. No nic, można zauważyć, że w naturalnych dodatnich większych niż \(\displaystyle{ 1}\), a więc poczynając od \(\displaystyle{ 2}\), mamy \(\displaystyle{ n^2+1>n^2-1 \Leftrightarrow \frac{1}{n-1} > \frac{n+1}{n^2+1}}\), więc \(\displaystyle{ n\ge 2}\) i jeśli \(\displaystyle{ n>\frac 1 \epsilon+1}\), to \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n^2+1} <\epsilon}\)

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Rozbitek » 10 lis 2017, o 16:32

Tak jest, przepraszam, już poprawione.

Adam97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2017, o 07:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Adam97 » 11 lis 2017, o 07:38

Rozbitek, jak Ci wyszło 2 z 1?
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}}\)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2017, o 20:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Rozbitek » 11 lis 2017, o 17:49

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ (n^2+1)(n^3+n) = n^5 + n^3 + n^3 + n = n^5 + 2n^3 + n}\)

Nie bardzo rozumiem pytanie, ale z tym przejściem jest wszystko OK z tego co widzę.

Adam97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2017, o 07:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Adam97 » 11 lis 2017, o 18:03

Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}}\)
No czy tu nie ma znaku między ułamkami np + \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 + 1}+ \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}}\)
W następnej linijce sprowadzanie do wspólnego mianownika tylko dlaczego mnożymy skoro wcześniej było dodawanie. Bardzo możliwe, że zapomniałem o jakiejś własności.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}}\)

\(\displaystyle{ (n^2+1)(n^3+n) = n^5 + n^3 + n^3 + n = n^5 + 2n^3 + n}\)

Nie bardzo rozumiem pytanie, ale z tym przejściem jest wszystko OK z tego co widzę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: a4karo » 11 lis 2017, o 18:07

Proszę, ulitujcie się już nad tym bełkotem. To co napisał Rozbitek ma dość mało sensu.

-- 11 lis 2017, o 19:22 --

Zacznijmy po Rozbitkowemu:

mamy pokazać, że
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0} \exist_{n_0 \in \NN} \forall_{n \in \NN} \left| \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } +1 < \epsilon\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } + \frac{ n^{2}+1 }{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|}\)
Wyrażenie jest większe od zera (mam nadzieję, że to oczywiste), więc legitnie sobie opuszczamy wartość bezwzględną.

\(\displaystyle{ \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{n +1}{n ^{2}+1 }=\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\leq\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\leq \frac{2}{n}}\)
Nierównośc \(\displaystyle{ \frac{2}{n}<\epsilon}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ n>\frac{2}{\epsilon}}\). Stąd wnioskujemy, że dla \(\displaystyle{ n_0=\left\lfloor\frac{2}{\epsilon}+1\right\rfloor}\) zachodzi żądana nierówność.

I nie bój się w rozwiązaniu zadania używać słów w języku polskim. Ściany znaczków nic nie znaczą bez tych komentarzy.

I pamiętaj: w zadaniach tego typu wystarczy wyznaczenie jakiegoś \(\displaystyle{ n_0}\), wcale nie musi być ono najmniejsze z możliwych.

Adam97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 10 lis 2017, o 07:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: Adam97 » 11 lis 2017, o 18:36

Mamy
\(\displaystyle{ \frac{n +1}{n ^{2}+1 }=\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\leq\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\leq \frac{2}{n}}\)
Nierównośc \(\displaystyle{ \frac{2}{n}<\epsilon}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ n>\frac{2}{\epsilon}}\). Stąd wnioskujemy, że dla \(\displaystyle{ n_0=\left\lfloor\frac{2}{\epsilon}+1\right\rfloor}\) zachodzi żądana nierówność.

I nie bój się w rozwiązaniu zadania używać słów w języku polskim. Ściany znaczków nic nie znaczą bez tych komentarzy.

I pamiętaj: w zadaniach tego typu wystarczy wyznaczenie jakiegoś \(\displaystyle{ n_0}\), wcale nie musi być ono najmniejsze z możliwych.[/quote]

I o to mi chodziło. Zawsze mogę tak szacować? To ogromnie życie upraszcza.
Ratuje Pan mi życie.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Korzystając z definicji wykazać, że

Post autor: a4karo » 11 lis 2017, o 18:40

Adam97 pisze:
I o to mi chodziło. Zawsze mogę tak szacować? To ogromnie życie upraszcza.
Ratuje Pan mi życie.
Najczęściej włąsnie o tego typu oszacowania chodzi.

ODPOWIEDZ