Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest nić

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
corvus606
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest nić

Post autor: corvus606 » 10 lis 2017, o 01:38

Treść zadania:
Na bęben o promieniu \(\displaystyle{ b}\) jednorodnego walca o ciężarze \(\displaystyle{ Q}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\), leżącego na płaszczyźnie poziomej, nawinięta jest nić, którą ciągnie siła \(\displaystyle{ P}\), tworząca z poziomem kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) . Ramię bezwładności walca wynosi \(\displaystyle{ \rho}\) (rys 26.5). Wyprowadzić równanie ruchu osi bębna.

Odpowiedź:
[...]

Zadanie pochodzi z podręcznika Engel, Giergiel "Dynamika" z 1998r., jest tam też podana powyższa odpowiedź.

Jeżeli się nie mylę odpowiedź jest błędna.
Po przeliczeniu wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \ccdot{x} = \frac{Prg(r\cos{\alpha}-b)}{Q(r^2+\rho^2)}}\)

Zresztą w odpowiedzi z książki z tego co widzę nie zgadza się jednostka w mianowniku, prawda?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2017, o 07:26 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Pojedyncze symbole także zapisujemy z użyciem LateXa.Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest nić

Post autor: kruszewski » 10 lis 2017, o 02:26

Odpowiedź książkowa jest błędna, bo jak tu od siły odejmować pole powierzchni a tak jest zapisane w mianownikunułamka. Jednostka wielkości \(\displaystyle{ x}\) to jednostka przyspieszenia ruchu, czyli \(\displaystyle{ \frac{m}{s^2}}\) .
proszę zauważyć, że wszystkie wielkości ułamka są stałymi. Zazatem i wynik jest też stałą, Czyli przyspieszenie ruch \(\displaystyle{ x}\) jest stałe. Stąd wyprowadzamy wiosek, że jest to ruch jednostajnie zmienny.
I ten wzór należy napisać jako odpowiedź.

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2354
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 587 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: siwymech » 10 lis 2017, o 09:36

Prośba o zamieszczenie poprawnego rozwiązania. Myślę, że z pożytkiem dla wielu , którzy chcą poznać zasady układania dynamicznych równań dla ruchu płaskiego.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: kruszewski » 12 lis 2017, o 23:56



W zadaniu podano wielkości znane:
Siłę \(\displaystyle{ P}\) ciągnąca nić, kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jaki tworzy nić z drogą po której toczy się walec o promieniu \(\displaystyle{ r}\), promień \(\displaystyle{ r}\) , promień \(\displaystyle{ b}\) szpuli z której odwija się nić, masę \(\displaystyle{ m}\) walca (razem z masą szpuli) i ramię (promień) bezwładności \(\displaystyle{ \rho}\) walca oraz to, że walec toczy się po swojej drodze bez poślizgu. Ten warunek oznacza to, że składowa siły w nici równoległa do drogi nie powoduje ruchu postępowego walca, a ruch środka walca jest wynikiiem ruchu obrotowego (toczenia się walca po drodze).
Korzystając z tw. Varignona zastąpmy działanie siły \(\displaystyle{ P}\) na obwodzie szpuli równoważnym układem: momentem tej siły wzgęldem bieguna w \(\displaystyle{ O}\) i siły \(\displaystyle{ P}\) przyłożonej do bieguna o kierunku działania jak poprzednio rozłożonej na dwa kierunki wg przyjętych tu osi. Fig. 2
Chwilowym środkiem obrotu walca jest punkt jego styczności z torem po którym się toczy, jest to punkt \(\displaystyle{ A}\).
Przyspieszenie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) ruchu obrotowego wględem środka obrotu (każdego środka) równa się :
\(\displaystyle{ \varepsilon_A = \frac{M_A}{I_A}= \frac{ P \cdot b - P \cdot r \cdot cos \alpha}{m(\rho^2 +r^2)}}\)
gdzie: \(\displaystyle{ M_A= P \cdot b - P \cdot r \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ I_A= I_o+m \cdot r^2}\) , wg tw. Steinera,
zaś \(\displaystyle{ I_o = m \cdot \rho^2}\)
Prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega}\) , względem chwilowego środka obrotu
równa jest
\(\displaystyle{ \omega_A = \varepsilon_A \cdot t}\)
a prędkość postępowa środka walca ;
\(\displaystyle{ v_o = \omega_A \cdot r}\)
podstawiając w miejsce \(\displaystyle{ \omega}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{P \cdot (b-rcos \alpha )}{m(\rho^2+ r^2)\right)} \cdot t}\)

otrzymamy:
\(\displaystyle{ v_o = \frac{P \cdot r( b - rcos \alpha )}{m(\rho^2 - r^2) \cdot } \cdot t}\)

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2354
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 587 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: siwymech » 14 lis 2017, o 13:50



Równanie ruchu osi walca wyprowadzone z dynamicznego równania dla ruchu obrotowego!
.............................................................
Walec wykonuje ruch płaski.
Punkt \(\displaystyle{ p.S}\) styku walca z chropowatym podłożem jest chwilowym środkiem obrotu.
Opisanie sił:
\(\displaystyle{ Q=m \cdot g \Rightarrow m= \frac{Q}{g}}\),
\(\displaystyle{ N-}\)reakcja normalna podłoża,
\(\displaystyle{ F}\)- nieokreślona siła tarcia,
1.Dynamiczne równanie ruchu obrotowego:
\(\displaystyle{ M _{s}=J _{s} \cdot \ddot\phi}\) \(\displaystyle{ \quad}\) (1)
Gdzie;
\(\displaystyle{ \epsilon=\ddot\phi= \frac{\ddot x}{r}}\)
\(\displaystyle{ \ddot x=a _{o}}\)
1.1.Określenie momentu obr. wzgl.\(\displaystyle{ p.S}\):
\(\displaystyle{ M _{s}=P \cdot k=P ( r\cos \alpha -b)}\)
Ramię \(\displaystyle{ k}\) obl. z \(\displaystyle{ \Delta OBS}\):
\(\displaystyle{ k=r\cos \alpha -b}\)
1.2. Obl. momentu bezwładności jednorodnego walca \(\displaystyle{ J _{s}}\) wzgl.osi przech przez p. \(\displaystyle{ S}\) z wykorzyst. tw.Steinera- oś prostopadła do płaszczyzny rys.
\(\displaystyle{ J _{s}=J _{o} +m \cdot r ^{2}}\),
Moment bezwł. \(\displaystyle{ J _{o}}\) wzgl. osi przech. przez środek masy p.O z wykorzystaniem pojęcia promienia bezwładności ;\(\displaystyle{ \rho= \sqrt{ \frac{J _{o} }{m} }}\)
\(\displaystyle{ J _{o}=m \cdot \rho ^{2}= \frac{Q}{g} \cdot \rho ^{2}}\),
Ostatecznie mamy dla jednorodnego walca :
\(\displaystyle{ J _{s}= \frac{Q}{g} (\rho ^{2}+r ^{2})}\)
2. Po wykorzystaniu obl. wielkości równanie (1)- ruch.obrot przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ P(r\cos \alpha -b)= \frac{Q}{g} (\rho ^{2}+r ^{2}) \cdot \frac{\ddot x}{r}}\), \(\displaystyle{ \quad}\)( 2),
3.Przyśpieszenie środka masy walca z równania (2):
\(\displaystyle{ \ddot x=a _{o} = \frac{P \cdot g \cdot r(r \cdot \cos \alpha -b)}{Q(\rho ^{2}+r ^{2}) }}\), \(\displaystyle{ \quad}\) (3)
4. Równanie ruchu osi walca otrzymamy przez dwukrotnie całkowanie równania (3) podług czasu z uwzgl.warunków początkowych ruchu:
\(\displaystyle{ x=\frac{P \cdot g \cdot r(r \cdot \cos \alpha -b) \cdot t ^{2} }{2Q(\rho ^{2}+r ^{2}) }}\), \(\displaystyle{ \quad}\) (4)
/Warunki początkowe: \(\displaystyle{ t=0, \dot x=0, x=0 \Rightarrow C _{1}=C _{2}=0}\)/

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: kruszewski » 14 lis 2017, o 15:13

Do mojego listu:
426008.htm#p5515490
dodałbym jeszcze taką uwagę, że ruch środka walca jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, co jest konsekwencją niezmienności siły P i jej kierunku działania. Pozwala to na użycie, zastosowanie znanego wzoru na drogę \(\displaystyle{ s=x (t)}\) w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
\(\displaystyle{ s= s_o+ frac{1}{2}varepsilon cdot r cdot t^2}\)
Uważam, że redukcja efektów działania siły P na walec, do jej momentu względem środka walca i jej składowych, pozwala na łatwiejsze rachowanie. Nie na darmo ten uczony jezuita to zauważył i dał dowód temu twierdzeniu. Ale to już mój gust i przekonanie.

W jakim celu wywoływał Pan innych pisząc:"Prośba o zamieszczenie poprawnego rozwiązania" wstawiając później własne bez komentarza do poprzednich?
W.Kr.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: SlotaWoj » 14 lis 2017, o 15:43

kruszewski pisze:... Nie na darmo ten uczony jezuita to zauważył ...
A o kim mowa?

Edit: Kruszewski odpisał mi na PW, że chodzi o Piotra Varignona, autor twierdzenia o redukcji układu sił do wypadkowej i momentu względem bieguna.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Re: Na bęben o promieniu b jednorodnego walca nawinięta jest

Post autor: kruszewski » 14 lis 2017, o 17:26

Pierre Varignon – francuski uczony i jezuita. Zajmował się przede wszystkim matematyką i fizyką. Autor prac dotyczących głównie geometrii, hydromechaniki i mechaniki teoretycznej. Podał sposób wykreślny składania sił.
Rocznik:
Data i miejsce urodzenia 1654, Caen.
Data i miejsce śmierci 23 grudnia 1722, Paryż.

ODPOWIEDZ