równanie z użyciem arcsin

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
miyaka98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 lis 2017, o 23:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

równanie z użyciem arcsin

Post autor: miyaka98 » 9 lis 2017, o 23:56

Na zajęciach robiliśmy takie zadanie:
\(\displaystyle{ \sin \left( 1-5x \right) = \frac{3}{7} / \cdot \arcsin}\)
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \sin \left( 1-5x \right) \right) =\arcsin \frac{3}{7}}\)
\(\displaystyle{ 1-5x = \arcsin \frac{3}{7}+2k \pi \vee 1-5x= \pi -\arcsin \frac{3}{7}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{5} \left( \arcsin \frac{3}{7}+2k \pi -1 \right) \vee x=-\frac{1}{5} \left( \pi -\arcsin \frac{3}{7}+2k \pi -1 \right)}\)

Prosiłabym o wytłumaczenie, dlaczego w ogóle istnieje drugie rozwiązanie oraz dlaczego jest tam \(\displaystyle{ \pi -\arcsin \frac{3}{7}+2k \pi}\).Głównie chodzi mi o to \(\displaystyle{ \pi}\) na początku.
Mam również pytanie, czy podobne równanie \(\displaystyle{ \sin \left( 3x-5 \right) =\frac{2}{7}}\) rozwiązujemy analogicznie do pierwszego? Czy również będą dwa rozwiązania?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2017, o 00:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: równanie z użyciem arcsin

Post autor: Premislav » 10 lis 2017, o 00:32

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin x=\sin(\pi-x)}\).
Na przykład \(\displaystyle{ \arcsin(\sin \frac 3 4\pi)}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \frac 3 4\pi+2k\pi}\) dla żadnego \(\displaystyle{ k}\) (zauważ, że k musi być takie, by całość trafiała w zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \arcsin(x)}\), czyli \(\displaystyle{ \left[-\frac \pi 2;\frac \pi 2\right]}\)).

ODPOWIEDZ