Dowód otwartości zbioru z zadaną normą

[ReallyGrid]

Niech dany będzie zbiór

\(\displaystyle{ G = \{f \in C[0, 1] \colon ||f||_{\sup } = 1\}}\)

funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\) w przestrzeni unormowanej z zadaną normą

\(\displaystyle{ ||f||_{\sup } = \sup \{|f(x)| \colon x \in [0, 1]\}}\)

Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ G}\) nie jest zamknięty w przestrzeni metrycznej

\(\displaystyle{ (C[0, 1], ||.||_1)}\) gdzie \(\displaystyle{ ||f||_1 = \int_0^1|f(x)|dx}\)

Czyli muszę pokazać, że istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{f_n\}}\) o wyrazach z \(\displaystyle{ G}\) który jest zbieżny ale jego granica nie leży w \(\displaystyle{ G}\) ? Jeśli tak, to nie wiem jak to zrobić

[szw1710]

Kolego, w topologii ze zbiorami nie jest tak jak z drzwiami. Te albo są otwarte, albo zamknięte. A zbiory mogą być otwarte, mogą być domknięte (a nie zamknięte), a mogą być takie, które nie są ani otwarte, ani domknięte. Są też zbiory, które są i otwarte, i domknięte jednocześnie. Dlatego tytuł Twojego posta jest wysoce nieuprawniony.

Weźmy jako wykres funkcji \(\displaystyle{ f_n}\) łamaną łączącą punkty \(\displaystyle{ (0,0),\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+1},0\right),\left(\frac{1}{2},1\right),\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n+1},0\right),(1,0).}\) Widać, że \(\displaystyle{ \|f_n\|_1\to 0}\), więc \(\displaystyle{ f_n\to 0}\) w normie całkowej. Oczywiście \(\displaystyle{ f_n\in G}\). Ale funkcja zerowa nie leży w \(\displaystyle{ G}\).

[ReallyGrid]

Chyba rozumiem. A jeśli wziąłbym taką funkcję to też będzie dobrze?

\(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1], n \geq 1}\)

Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \geq 1}\) mamy \(\displaystyle{ f_n(0) = 0}\) i \(\displaystyle{ f_n(1) = 1}\). Zatem należą one do \(\displaystyle{ G}\). I wówczas

\(\displaystyle{ \int_0^1|f_n(x)|dx = \int_0^1|x^n|dx = \int_0^1x^ndx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{1}{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1], n \geq 1}\)

Zatem też widać, że \(\displaystyle{ ||f_n||_1 \rightarrow 0}\). I dalej wykorzystując Twój argument, ze funkcja zerowa nie należy do \(\displaystyle{ G}\).

Czy to będzie dobrze? Chodzi mi tylko o to, żeby funkcja \(\displaystyle{ f_n}\) była jak najprostsza

[szw1710]

Też dobrze. Mój ciąg uważam za bardzo prosty, bo widać, że te trójkąty mają coraz mniejsze podstawy więc nic nie trzeba liczyć. Tu też bez liczenia widać, że pola są coraz mniejsze i zmierzają do zera.