Pięciu pasażerów wsiada

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: choko » 9 lis 2017, o 20:13

Pięciu pasażerów wsiada na przystanku do tramwaju złożonego z trzech wagonów. Zakładając, że każdy pasażer tym samym prawdopodobieństwem wsiada do dowolnego wagonu, obliczyć prawdopodobieństwo, że:
(a) wszyscy pasażerowie wsiądą do jednego wagonu,
(b) po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu,
(c) przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.

Proszę o sprawdzenie
(a) \(\displaystyle{ \frac{3}{3^5}}\)
(b) Mianownik tak samo jak wyżej tylko licznik \(\displaystyle{ {3 \choose 2} \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!}}\)
(c)Tutaj mianownik bez zmian a licznik \(\displaystyle{ 3+{3 \choose 2} \cdot (2^5-2)}\)

Mam wątpliwości szczególnie do c)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: janusz47 » 9 lis 2017, o 20:36

Licznik prawdopodobieństwa c) napisałeś poprawnie - ale wiesz skąd się on bierze ? - jeśli nie zbudowałeś modelu doświadczenia losowego, polegającego na losowym wsiadaniu 5 pasażerów do 3 wagonów tramwajowych?

choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: choko » 10 lis 2017, o 20:08

Co do c) to myślę tak \(\displaystyle{ 3}\) bo tyle jest możliwości aby wszyscy wsiadli w \(\displaystyle{ 1}\) wagon. Dalej wybieram \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) \(\displaystyle{ 2}\) wagony z \(\displaystyle{ 3}\) w których umieszczam osoby na \(\displaystyle{ 2^5}\) sposobów ale są dwie możliwości że zapełnią \(\displaystyle{ 1}\) wagon. Więc mam\(\displaystyle{ 3+{3 \choose 2} \cdot (2^5-2)}\).

Mianownik zawsze będzie oczwiście \(\displaystyle{ 2^5}\) w każdym podpunkcie nie?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: janusz47 » 10 lis 2017, o 23:19

A dlaczego odejmujemy dwójkę?

choko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: choko » 12 lis 2017, o 11:37

No bo wybieram dwa wagony powiedzmy A i B w kazdym ktos musi być więc wyrzucam sytuacje kiedy wszyscy sa w A lub wszyscy sa w B. Czyli jest ok? A co z pozostalymi pkt, b jest dobrze?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Pięciu pasażerów wsiada

Post autor: janusz47 » 12 lis 2017, o 14:00

b)

Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na losowym wsiadaniu pięciu pasażerów do trzech wagonów tramwajowych.

Zbudujmy model tego doświadczenia:

\(\displaystyle{ ( \Omega, 2^{\Omega}, P ).}\)

\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Czym są zdarzenia elementarne?

W zadaniu mamy sytuację: ze zbioru 3 - elementowego \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) - numery wagonów tworzymy ciągi pięcioelementowe \(\displaystyle{ (1,2,3,4,5),}\) przypisując każdemu pasażerowi numer wagonu.
Elementy tego ciągu mogą się powtarzać (niektórzy pasażerowie znajdą się w tym samym wagonie) oraz kolejność ustawienia jest istotna.

Zdarzeniami elementarnymi są więc pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3-elementów.

\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega: \omega = f : (1,2,3) \rightarrow (1,2,3,4,5) \}.}\)

\(\displaystyle{ | \Omega |= W_{5}^{3} = 5^{3}.}\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)- łącznie ze zdarzeniami: pewnym i niemożliwym.

Mówimy, też że jest to zbiór wszystkich zdarzeń, dla których możemy określić prawdopodobieństwo - ( zdarzeń probabilizowalnych).

\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)

\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega}|} = \frac{1}{5^3}.}\)

Mając model probabilistyczny doświadczenia losowego- możemy obliczyć wszystkie wartości prawdopodobieństw zawartych w treści zadania.

\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu".

Sprzyjających układów (ciągów) jest tyle - iloma sposobami 5 osobom przypiszemy: \(\displaystyle{ (1, 2), (2, 2), ( 3,1).}\)

\(\displaystyle{ B = \{\omega: \omega = g: (1,2,3)\rightarrow (i, j) \wedge i, j \in\{1,2,3,4,5} \}\}.}\)

Ilość tych sposobów, równa jest \(\displaystyle{ 3P_{5}^{2\times 2\times 1}}\) - ilościom permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5- elementów z dwoma powtórzeniami.

\(\displaystyle{ |B| = 3\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}.}\)


Stąd:

\(\displaystyle{ P( B) =\frac{| B|}{| \Omega |} = 3\cdot \frac{5!}{3^5\cdot 2!\cdot 2!\cdot 1!}= 0,37.}\)


Program R

Kod: Zaznacz cały

> P = (3*factorial(5))/(3^5*factorial(2)*factorial(2)*factorial(1))
> P
[1] 0.3703704
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa

W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 37\%}\) ogólnej liczby wyników - po dwóch pasażerów wsiądzie do jednego wagonu tramwajowego.

ODPOWIEDZ