ciąg arytmetyczny - różnica

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
maximum2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ola
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 5 razy

ciąg arytmetyczny - różnica

Post autor: maximum2000 » 9 lis 2017, o 18:54

Niech \(\displaystyle{ n,M}\) naturalne oraz \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem arytmtycznym takim że \(\displaystyle{ a_1^2+a_{n+1}^2 \le M}\). Wyznacz maksimum różnicy \(\displaystyle{ S_{2n+1}-S_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n}(a_i)}\)

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: ciąg arytmetyczny - różnica

Post autor: kropka+ » 13 lis 2017, o 13:57

\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n}=a _{n+1} +a _{n+2} +...+a _{2n+1} = \frac{a _{n+1} +a _{2n+1} }{2} \cdot (n+1)}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{a _{1} +a _{2n+1} }{2} \Rightarrow a _{2n+1}=2a _{n+1} -a _{1}}\)

stąd

\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1)}\)

Szukamy maksimum powyższej funkcji, więc można od razu przyjąć, że \(\displaystyle{ a _{n+1}>0 \wedge a _{1} \le 0}\)

\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} +a _{n+1} ^{2} \le M}\)

\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} \le M-a _{n+1} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ - \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}\le a _{1} \le \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ S _{2n+1}-S _{n} =\frac{3a _{n+1} -a _{1} }{2} \cdot (n+1) \le\frac{3a _{n+1} +\sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }{2} \cdot (n+1)=f\left( a _{n+1}\right)}\)

\(\displaystyle{ f'\left( a _{n+1}\right) = \frac{n+1}{2}\left( 3- \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2} } } \right)}\)

\(\displaystyle{ f'(a _{n+1} )=0 \Leftrightarrow \frac{a _{n+1} }{ \sqrt{M-a _{n+1} ^{2}} }=3 \Rightarrow a _{n+1} ^{2} =0.9M}\)

Wybieramy dodatnią wartość \(\displaystyle{ a _{n+1}=3 \sqrt{ \frac{M}{10} }}\) i dostajemy

\(\displaystyle{ max\left( S _{2n+1} -S _{n}\right) = \frac{9 \sqrt{ \frac{M}{10} }+ \sqrt{ \frac{M}{10} } }{2} \cdot (n+1)= \frac{ \sqrt{10M}(n+1) }{2}}\)

ODPOWIEDZ