Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg...

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Artut97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 18 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 1 raz

Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg...

Post autor: Artut97 » 9 lis 2017, o 17:22

Okazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \rightarrow q < 1}\), to \(\displaystyle{ u_{n} \rightarrow 0}\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg

Post autor: Janusz Tracz » 9 lis 2017, o 17:51

Z tego że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \rightarrow q < 1}\) wynika że istnieje takie \(\displaystyle{ N}\) od którego spełniona jest nierówność

\(\displaystyle{ q-\epsilon \le \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \le q+\epsilon}\)

Podnosząc ją stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dostaniemy

\(\displaystyle{ \left( q-\epsilon\right)^n \le \left| u_{n}\right| \le \left( q+\epsilon\right)^n}\)

przechodząc z \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) i powołując się na twierdzenie o trzech ciągach dostaniemy że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| u_{n}\right|=0}\)

co biorąc pod uwagę ciągłość \(\displaystyle{ \left| \cdot \right|}\) daje tezę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19200
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg

Post autor: a4karo » 9 lis 2017, o 19:57

Prawie dobrze. Brakuje dość oczywistej uwagi, że możemy wybrać \(\displaystyle{ \epsilon}\)
tak, aby \(\displaystyle{ q+\epsilon<1}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg

Post autor: Janusz Tracz » 9 lis 2017, o 20:01

Uznałem ją za wystarczająco oczywistą. Niemniej jednak jest to kluczowe spostrzeżenie i rzeczywiście wypada o nim wspomnieć. Dziękuję a4karo.

ODPOWIEDZ