Okazać, że jeżeli pewien ciąg dąży do q < 1 to inny ciąg...

[Artut97]

Okazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \rightarrow q < 1}\), to \(\displaystyle{ u_{n} \rightarrow 0}\).

[Janusz Tracz]

Z tego że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \rightarrow q < 1}\) wynika że istnieje takie \(\displaystyle{ N}\) od którego spełniona jest nierówność

\(\displaystyle{ q-\epsilon \le \sqrt[n]{\left| u_{n}\right| } \le q+\epsilon}\)

Podnosząc ją stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dostaniemy

\(\displaystyle{ \left( q-\epsilon\right)^n \le \left| u_{n}\right| \le \left( q+\epsilon\right)^n}\)

przechodząc z \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) i powołując się na twierdzenie o trzech ciągach dostaniemy że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| u_{n}\right|=0}\)

co biorąc pod uwagę ciągłość \(\displaystyle{ \left| \cdot \right|}\) daje tezę.

[a4karo]

Prawie dobrze. Brakuje dość oczywistej uwagi, że możemy wybrać \(\displaystyle{ \epsilon}\)
tak, aby \(\displaystyle{ q+\epsilon<1}\)

[Janusz Tracz]

Uznałem ją za wystarczająco oczywistą. Niemniej jednak jest to kluczowe spostrzeżenie i rzeczywiście wypada o nim wspomnieć. Dziękuję a4karo.