oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
dagget11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 lis 2017, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: dagget11 » 9 lis 2017, o 12:37

Witam
czy mógłby mi ktoś udzielić wsparcia z rozwiązaniem podanej poniżej całki oraz wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego do niej, z którego będzie się korzystać w celu rozwiązania danej całki? Proszę również o wyjaśnienie jaki wzór rekurencyjny i jak on ma się do danej całki. Z góry dziękuję bardzo!


\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-1) \cdot \sqrt{x ^{2}+2 } }}\)
Ostatnio zmieniony 9 lis 2017, o 12:41 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: janusz47 » 9 lis 2017, o 14:15

Podstawienie np:

\(\displaystyle{ t = \frac{1}{x-1}.}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: mariuszm » 10 lis 2017, o 04:25

Ja proponuję pierwsze Eulera nie będziemy mieli ułamków pod pierwiastkiem
Drugie podstawienie Eulera może wymagać mniej obliczeń



\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x-1) \cdot \sqrt{x ^{2}+2 } }\\ \sqrt{x^2+2}=t-x\\ x^2+2=t^2-2tx+x^2\\ 2=t^2-2tx\\ 2tx=t^2-2\\ x=\frac{t^2-2}{2t}\\ x-1=\frac{t^2-2t-2}{2t}\\ t-x=\frac{2t^2-t^2+2}{2t}=\frac{t^2+2}{2t}\\ \mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-2\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\ \mbox{d}x =\frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t\\ \int{\frac{2t}{t^2-2t-2} \cdot \frac{2t}{t^2+2} \cdot \frac{t^2+2}{2t^2} \mbox{d}t}\\ =\int{\frac{2}{t^2-2t-2} \mbox{d}t}\\ =\int{\frac{2}{\left( t-1\right)^2-3 } \mbox{d}t}\\ =\frac{1}{ \sqrt{3} }\int{\frac{\left(t-1+ \sqrt{3}\right)-\left(t-1- \sqrt{3}\right) }{\left( t-1-\sqrt{3}\right)\left( t-1-\sqrt{3}\right)} \mbox{d}t}\\ =\frac{1}{ \sqrt{3} }\left( \int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1- \sqrt{3}} }-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t-1+ \sqrt{3}} }\right)\\ =\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{t-1- \sqrt{3}}{t-1+ \sqrt{3}} \right| }+C\\ =\frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{\left| \frac{\sqrt{3}\sqrt{x^2+2}-x-2}{x-1} \right| }+C\\}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: janusz47 » 10 lis 2017, o 09:31

Pod pierwiastkiem po podstawieniu \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x-1}}\) nie będziemy mieli pierwiastków, jeśli sprowadzimy wyrażenie podpierwiastkowe do NWW.

Otrzymamy całkę z funkcji:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{\sqrt{3t^2+2t +1}}.}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: mariuszm » 10 lis 2017, o 18:01

janusz47, no będziesz miał pierwiastek a dodatkowo pod tym pierwiastkiem będziesz miał ułamek
Ciekawe jaki to miał być wzór rekurencyjny

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

oblicz całkę oraz wyprowadź wzór rekurencyjny

Post autor: janusz47 » 10 lis 2017, o 18:54

Nie będzie ułamka, bo NWW \(\displaystyle{ t^2}\) wyprowadzamy przed pierwiastek i redukują się \(\displaystyle{ t.}\)

ODPOWIEDZ