Druga pochodna z funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ma24ti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2017, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Druga pochodna z funkcji

Post autor: ma24ti » 9 lis 2017, o 12:29

Witam, mam problem z rozwiązaniem następującej zależności:

\(\displaystyle{ (1)f'(x)= \frac{x}{w \cdot \sqrt{ a^{2}+x^{2} } }- \frac{1}{w}}\)

Według wyniku podanego przez prowadzącego zależność przyjmuje następującą postać:
\(\displaystyle{ (2) f''(x)= \frac{ a^{2} }{w \cdot (a ^{2} + x^{2}) \cdot \sqrt{a ^{2} + x^{2}} }}\)

Z moich obliczeń przeprowadzonych kilkukrotnie zależność przyjęła postać:
\(\displaystyle{ (3) f''(x)= \frac{ \sqrt{(a ^{2} + x^{2})}- x^{2} }{w \cdot ( a^{2}+ x^{2}) \cdot \sqrt{ a^{2} + x^{2} } }}\)

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć, czy w moim obliczeniu jest błąd czy w prowadzącego? Jeżeli w moim, to prosiłbym o rozwinięcie wyniku.

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc.
EDIT: wykonałem obliczenia przy pomocy oprogramowania wolfram alfa oraz kalkulatora ze strony oblicz.to które zwróciły różne wyniki. Wolfram dał wynik (2) (niestety nie ma możliwości bezpłatnego podglądy rozwiązanie "step by step"), natomiast oblicz.to zwrócił wynik (3) (którego obliczenia były zbieżne z moimi).
Ostatnio zmieniony 9 lis 2017, o 12:56 przez ma24ti, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: Druga pochodna z funkcji

Post autor: kropka+ » 9 lis 2017, o 12:55

Źle sprowadziłeś do wspólnego mianownika.
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} +x ^{2} } - \frac{x ^{2} }{ \sqrt{a ^{2} +x ^{2} }} = \frac{a ^{2} +x ^{2} -x ^{2} }{ \sqrt{a ^{2} +x ^{2} }}}\)

ma24ti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2017, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Druga pochodna z funkcji

Post autor: ma24ti » 9 lis 2017, o 13:35

Moje obliczenia przebiegały w następujący sposób:

\(\displaystyle{ (4) f''(x)= \frac{x' \cdot w \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2} }-x \cdot (w \cdot \sqrt{ a^{2}+ x^{2} })' }{w ^{2} \cdot (\sqrt{ a^{2}+ x^{2} }) ^{2} }- (\frac{1}{w})'}\)

\(\displaystyle{ (5) f''(x)= \frac{w \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2} }-x \cdot (w \cdot \frac{1}{2} \cdot (a ^{2}+ x^{2}) ^{ -\frac{1}{2} } \cdot 2x }{ w^{2} \cdot ( a^{2}+ x^{2}) }-0}\)

\(\displaystyle{ (6) f''(x)= \frac{w \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2} }- x^{2} \cdot w }{ w^{2} \cdot ( a^{2}+ x^{2}) \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ (7) f''(x)= \frac{w \cdot (\sqrt{a ^{2}+ x^{2} }- x^{2}) }{w^{2} \cdot ( a^{2}+ x^{2}) \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ (8) f''(x)= \frac{ \sqrt{a ^{2}+ x^{2} }- x^{2} }{w \cdot ( a^{2}+ x^{2}) \cdot \sqrt{a ^{2}+ x^{2}}}}\)

Nie bardzo wiem w którym miejscu powinienem sprowadzić do wspólnego mianownika. Kropka+ czy mógłbyś rozwinąć swoją wypowiedź, proszę?

Padre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 paź 2008, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Andrychów

Re: Druga pochodna z funkcji

Post autor: Padre » 9 lis 2017, o 14:26

W 6 przekształceniu sprowadziłeś sobie pierwiastek z odjemnika do mianownika. Nie można takich rzeczy robić przy odejmowaniu.
\(\displaystyle{ (6) f"(x)= \frac{w \cdot \sqrt{ a^{2} + x^{2} }- \frac{x ^{2} \cdot w }{ \sqrt{a ^{2}+x ^{2} } } }{w ^{2} \cdot (a ^{2}+x ^{2} ) }}\)

\(\displaystyle{ (7) f"(x)= \frac{w \cdot (a ^{2}+x ^{2} )-x ^{2} \cdot w }{w ^{2} \cdot (a ^{2}+x ^{2} ) \cdot \sqrt{a ^{2}+x ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ (8) f"(x)= \frac{w \cdot a ^{2}+w \cdot x ^{2} -x ^{2} \cdot w }{w ^{2} \cdot (a ^{2}+x ^{2} ) \cdot \sqrt{a ^{2}+x ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ (9) f"(x)= \frac{w \cdot a ^{2}}{w ^{2} \cdot (a ^{2}+x ^{2} ) \cdot \sqrt{a ^{2}+x ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ (10) f"(x)= \frac{ a ^{2}}{w \cdot (a ^{2}+x ^{2} ) \cdot \sqrt{a ^{2}+x ^{2} } }}\)
Ostatnio zmieniony 9 lis 2017, o 14:43 przez Padre, łącznie zmieniany 2 razy.

ma24ti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2017, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Druga pochodna z funkcji

Post autor: ma24ti » 9 lis 2017, o 14:29

Aaaaa no tak, faktycznie już to widzę. Bardzo dziękuję za pomoc! Pozdrawiam

ODPOWIEDZ