Odwzorowanie Tysięczne i jego konsekwencje dla Cantora

[andu]

Bijekcja pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów OT, w tym tekstów matematycznych, oraz konsekwencje dla algorytmu diagonalnego Cantora.
wstęp
Oprócz powszechnie używanych systemów numerycznych, takich jak binarny, dziesiętny lub szesnastkowy, możemy użyć systemu z tysięczną podstawą. Poniżej, w linku, prezentuję tabelę podstawień dla pierwszych 1000 liczb naturalnych.
https://xn--myl-dza.com.pl/pl/n/6

Kolejnym liczbom naturalnym odpowiednio przyporządkowane zostają cyfry dziesiętne, znaki interpunkcyjne, alfabet łaciński, grecki, hebrajski i rosyjski. Ponadto znajdują się tu także znaki, jakimi zwykle posługują się matematycy, co pozwala, podobnie jak w LaTeX, napisać dowolny tekst matematyczny. A powyżej liczb 487 (do 999) można nadal dodawać inne znaki, których nie uwzględniłem w tabeli i które możecie uznać za potrzebne.

Pozwala to ustalić bijekcję pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów zapisanych za pomocą tych symboli w postaci funkcji OT. (Teksty w językach azjatyckich można tłumaczyć na język angielski). Wśród tych tekstów znajdą się również te, które w całkowicie jednoznaczny sposób określą liczby rzeczywiste.

ROZUMOWANIE AB
Czy przepis (czyli: algorytm, wzór matematyczny, formuła lub tekst lub coś jeszcze innego, ale zapisanego na papierze, dysku, w e-mailu itp.) pozwalający wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej w sposób całkowicie jednoznaczny możemy uważać za sposób zapisu tej liczby?
Jeśli: tak -> przejdź dalej;

jeśli nie-> metoda przekątniowa nie tworzy liczby rzeczywistej, bo tak jest zapisana:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_przek%C4%85tniowa

2. Czy dla utworzonego dowolnego, lecz w danym przypadku konkretnego uporządkowania, liczb rzeczywistych przekątniowa metoda Cantora ma z założenia generować liczbę rzeczywistą z dowolnie długim rozwinięciem dziesiętnym?

Jeśli: tak -> przejdź dalej i zwróć uwagę na twierdzenie poniżej i dowód zaprzeczający powyższej tezie;

jeśli nie -> metoda nie generuje liczby rzeczywistej, więc nie tworzy niczego nowego w zbiorze liczb rzeczywistych.

3. Pytania nieomalże retoryczne, ale muszą być zadane:

Czy liczby naturalne istnieją niezależnie od naszej wiedzy, osiągnięć i odkryć? Czy możemy znaleźć (odkryć) jakąś nową liczbę naturalną, której wcześniej nie było w porządku liczb naturalnych?

4. Wprowadzone Odwzorowanie Tysięczne OT, będące bijekcją pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów prowadzi w konsekwencji do pk5:

5. Dla dowolnego algorytmu Cantora: istnieje takie \(\displaystyle{ n_c \in \NN}\), że \(\displaystyle{ OT(n_c)=}\) algorytm Cantora

Tw: algorytm Cantora nie generuje liczby rzeczywistej

Dw: z uporządkowanego ciągu tekstów kolejno generowanych z OT ( dla kolejnych liczb naturalnych) do naszego nowo tworzonego ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) wybieramy tylko takie, które spełniają następujące warunki:

a- Jeśli tekst pozwala wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego może znaleźć się w ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) pod warunkiem spełnienia pk b, uzupełnionego pk c:

b- Liczba prezentowana przez tekst jest zawarta w przedziale otwartym \(\displaystyle{ (0; 1)}\)

c- Jeśli liczba posiada skończone rozwinięcie dziesiętne przekształcamy ją w rozwinięcie nieskończone przez dopisanie zer

W konsekwencji wiele tekstów zostanie odrzuconych , jako nie spełniających pk a i b, zaś tekst będący algorytmem Cantora uzyska liczbę porządkową k, która spełnia nierówność:

\(\displaystyle{ 0<k<n_c}\)

Nie potrzebujemy zajmować się w tej chwili liczbami z ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) o numerach porządkowych mniejszych od \(\displaystyle{ k}\), bo to dość trywialne i niezmieniające sedna dowodu. Przejdźmy do \(\displaystyle{ k}\), zakładając, że wszystkie wcześniej występujące liczby generowały kolejne cyfry wg algorytmu Cantora.

Zgodnie z procedurą zapisaną w algorytmie Cantora, należy zmienić \(\displaystyle{ k}\)-tą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ k}\)-tej liczby w ciągu tworzonych cyfr na inną, a to jest niemożliwe ponieważ nie ma tam żadnej cyfry! Zadanie zmiany jest niewykonalne z powodu odwołania się do samego siebie, czyli jest zadaniem autoreferencyjnym. I z tego powodu tekst odpowiadający liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n_c}\), jako \(\displaystyle{ OT(n_c)}\), nazwany algorytmem Cantora, nie generuje dowolnej ilości cyfr rozwinięcia dziesiętnego i nie może być, zgodnie z pk 1, zaliczony do liczb rzeczywistych i umieszczony na \(\displaystyle{ k}\)-tej pozycji w ciągu \(\displaystyle{ b_n}\). cbdo

Po odrzuceniu tekstu algorytmu Cantora, jako niegenerującego jakiejkolwiek liczby, możemy kontynuować tworzenie naszego ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), analizując teksty odpowiadające liczbom naturalnym większym od \(\displaystyle{ n_c}\), ale nie możemy zaśpiewać: " Polacy, nic się nie stało" i użyć odrzuconego wcześniej algorytmu Cantora do stworzenia nowej, nieznanej nikomu do tej pory liczby i w dodatku nieznajdującej się w tworzonym przez nas ciągu.
Mogę też się założyć o 1000zł, że nikt mi nie poda żadnej liczby rzeczywistej z tego przedziału, która nie byłaby umieszczona w tworzonym przeze mnie ciągu!

[leg14]

Czy dla utworzonego dowolnego, lecz w danym przypadku konkretnego uporządkowania, liczb rzeczywistych przekątniowa metoda Cantora ma z założenia generować liczbę rzeczywistą z dowolnie długim rozwinięciem dziesiętnym?

Nie. Ma generować liczbę rzeczywistą ,która nie należy do zbioru liczb, który Ty nazywasz "uporządkowaniem". Nie obchodzi nas, czy ta liczba ma skończone, czy nieskończone rozwinięcie dziesiętne.

Czy liczby naturalne istnieją niezależnie od naszej wiedzy, osiągnięć i odkryć? Czy możemy znaleźć (odkryć) jakąś nową liczbę naturalną, której wcześniej nie było w porządku liczb naturalnych?

Nie, ale możemy odkryć ODWZOROWANIE TYSIECZNE

5. Dla dowolnego algorytmu Cantora: istnieje takie nc in N, że OT(nc)= algorytm Cantora

W jakim sensie? Co rozumiesz przez skończony ciąg znaków, będący algorytmem Cantora?

Jeśli tekst pozwala wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego może znaleźć się w ciągu bn pod warunkiem spełnienia pk b, uzupełnionego pk c:

Podasz przykład takeigo tekstu?
Jak interpreetować tekst \(\displaystyle{ kaszanakaszanakaszana}\)?
Rozwinięcia dzieśietnego jakiej liczby? Jakieś dowolnej z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\) dobrze rozumiem?

tekst będący algorytmem Cantora uzyska liczbę porządkową k, która spełnia nierówność:

Jak wygląda ten tekst?

Przejdźmy do k, zakładając, że wszystkie wcześniej występujące liczby generowały kolejne cyfry wg algorytmu Cantora.

Dlaczego możemy tak założyć?
Przecież to nie prawda. Przed Cantorem na pewno będzie jakiś bełkot .

Zgodnie z procedurą zapisaną w algorytmie Cantora, należy zmienić k- tą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego k-tej liczby w ciągu tworzonych cyfr na inną, a to jest niemożliwe ponieważ nie ma tam żadnej cyfry! Zadanie zmiany jest niewykonalne z powodu odwołania się do samego siebie, czyli jest zadaniem autoreferencyjnym. I z tego powodu tekst odpowiadający liczbie naturalnej nc, jako OT(nc), nazwany algorytmem Cantora, nie generuje dowolnej ilości cyfr rozwinięcia dziesiętnego i nie może być, zgodnie z pk 1, zaliczony do liczb rzeczywistych i umieszczony na k-tej pozycji w ciągu bn. cbdo

Dla mnei to jest bełkot

Mogę też się założyć o 1000zł, że nikt mi nie poda żadnej liczby rzeczywistej z tego przedziału, która nie byłaby umieszczona w tworzonym przeze mnie ciągu!

Spróbuję (strzał w ciemno)- \(\displaystyle{ \pi/4}\). Pokaż, gdzie ona leży w Twoim ciągu.

[andu]

1.ciąg rozpocznę od liczby naturalnej \(\displaystyle{ n_c=166\ 071\ 003}\) - dla tej liczby \(\displaystyle{ OT(n_c)=\frac{\pi }{3}}\)
na 2 pozycji \(\displaystyle{ n_c=166\ 071\ 004}\) - dla tej liczby \(\displaystyle{ OT(n_c)=\frac{\pi}{4}}\)
na 3pozycji \(\displaystyle{ n_c=166\ 071\ 005}\) - dla tej liczby \(\displaystyle{ OT(n_c)=\frac{\pi}{5}}\)
itd

[leg14]

W jaki msensie te równości? W sensie napisów? Czy w sensie liczb?

[andu]

leg14
Tytuł: Odwzorowanie Tysięczne i jego konsekwencje dla Cantora Odpowiedz z cytatem
W jaki msensie te równości? W sensie napisów? Czy w sensie liczb?

Odwzorowanie Tysięczne, czyli bijekcja pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów, przekształca naturalne argumenty w odpowiadające im teksty. Wśród tych tekstów znajdują się także teksty matematyczne, a w nich z kolei teksty, czy jak wolisz napisy, reprezentujące liczby. Proszę zwrócić uwagę, że nawet pisząc np:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) tworzymy tylko pewien napis składający się z kilku znaków, zaś później matematycy interpretują go dopiero jako pewien ułamek będący liczbą.
Zapis dziesiętny tej samej liczby ułamkowej powinien być taki:
\(\displaystyle{ 0,6666(6)...}\),
bo podobny \(\displaystyle{ 0,6666...}\)mówiłby tylko, że liczba z nieskończonym zapisem dziesiętnym jest w przybliżeniu równa ułamkowi dwóch trzecich , zaś np zapis:
\(\displaystyle{ 3,14...}\), że jest to liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, w przybliżeniu równa ludolfinie, ale niekoniecznie równa \(\displaystyle{ \pi}\).

[leg14]

To w jaki sposób napis \(\displaystyle{ \pi/4}\) pozwala Ci wygenerować rozwinięcie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ \pi/4}\)?

[andu]

Sam napis postaci \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) na pewno nie wygeneruje nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego tego ułamka. Ale i Ty pisząc ten sam tekst miałeś na myśli taką właśnie liczbę, choć bezpośrednio nie generującą kolejnych cyfr. Oboje, chcąc być szybko komunikatywnymi, stosujemy skróty w postaci symboli. Czyli ćwiartkę liczby \(\displaystyle{ \pi}\). Jeśli Ty twierdzisz, że ten zapis przedstawia konkretną liczbę, to przecież oboje możemy ją wyliczyć stosując odpowiednie formuły pozwalające precyzyjnie wyliczać kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego, co zresztą akurat w tym przypadku jest stosunkowo proste (cytat z Wikipedii):
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}=4arctan \frac{1}{5}-arctan \frac{1}{239}}\)
Proszę zwrócić jednak uwagę na coś innego: jeśli Ty podajesz zapis jakiej liczby w postaci symbolicznej i chcesz by inni pod tym zapisem rozumieli konkretną liczbę a symbol przez Ciebie wymyślony to np \(\displaystyle{ \beta}\), to nie dojdziesz z nikim do porozumienia, jeśli nie powiesz, jak można ją właśnie precyzyjnie obliczyć.

[leg14]

Powiedziales, ze do \(\displaystyle{ b_n}\) bierzesz dowolne teksty, ktore powzwalaja wygenerowac

Jeśli tekst pozwala wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego

. No to pytam jak tekst \(\displaystyle{ \pi/4}\) pozwala Ci wygenerowac dowolna ilosc cyfr rozwiniecia dziesietnego pi/4? (na priv podam Ci number konta słońce)

Zgodnie z procedurą zapisaną w algorytmie Cantora, należy zmienić k-tą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego k-tej liczby w ciągu tworzonych cyfr na inną, a to jest niemożliwe ponieważ nie ma tam żadnej cyfry!

Dlaczego?
Pokaż mi jak zapisujesz algorytm Cantora przy pomocy skonczonej liczby znakow.

Przejdźmy do k, zakładając, że wszystkie wcześniej występujące liczby generowały kolejne cyfry wg algorytmu Cantora.

Dlaczego niby mozesz tak zalozyć?

[andu]

Algorytm zapisany skończoną ilością znaków na Wikipedii:https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_przek%C4%85tniowa