Czym właściwie jest złożenie relacji?

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Kalkulatorek » 8 lis 2017, o 20:08

Witam.

Staram się zrozumieć zasadę działania złożenia relacji. Znam formalną definicję tego działania, jednak nie mówi ona nic konkretnego o powstałej w jej wyniku relacji. Podam przykład:
Myślałem, że składając relacje:
\(\displaystyle{ R = \{(a,b) \in \NN \times \NN| a + b \ge 2 \}}\) oraz \(\displaystyle{ S = \{(a,b) \in \NN \times \NN | a+b \le 4 \}}\)
otrzymam relację, która zwróci wszystkie pary liczb naturalnych takich, że \(\displaystyle{ 2 \le a+b \le 4}\), jednak w wyniku tego działania dostałem jakiś zupełnie niejasny twór, z dziedziną, która nie pokrywa się z dziedziną żadnej z tych relacji. Stąd moje pytanie - w jaki sposób należałoby interpretować złożenie tych relacji?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 lis 2017, o 20:28

Są różne definicje złożenia relacji, więc podaj tę, której używasz.

JK

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Kalkulatorek » 8 lis 2017, o 20:30

\(\displaystyle{ RS = \{(x,y) | (\exists t)(xSt \land tRy) \}}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 lis 2017, o 20:39

Kalkulatorek pisze:Myślałem, że składając relacje:
\(\displaystyle{ R = \{(a,b) \in \NN \times \NN| a + b \ge 2 \}}\) oraz \(\displaystyle{ S = \{(a,b) \in \NN \times \NN | a+b \le 4 \}}\)
otrzymam relację, która zwróci wszystkie pary liczb naturalnych takich, że \(\displaystyle{ 2 \le a+b \le 4}\),
Nie, nie, to tak nie działa. Złożenie relacji nie ma prostej intuicji.
Kalkulatorek pisze: jednak w wyniku tego działania dostałem jakiś zupełnie niejasny twór, z dziedziną, która nie pokrywa się z dziedziną żadnej z tych relacji.
No to już coś dziwnego - obie te relacje są relacjami na \(\displaystyle{ \NN}\), więc ich złożenie też jest taką relacją. No chyba, że inaczej rozumiemy dziedzinę relacji.
Kalkulatorek pisze:Stąd moje pytanie - w jaki sposób należałoby interpretować złożenie tych relacji?
Zgodnie z definicją. \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji \(\displaystyle{ R\circ S}\) z \(\displaystyle{ y}\) jeśli mają świadka, z którym \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji \(\displaystyle{ S}\) i który jest w relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ y}\). Pomyśl o relacji \(\displaystyle{ R}\) na zbiorze ludzi

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x\mbox{ jest dzieckiem }y}\)

Co to znaczy, że \(\displaystyle{ x\,R\circ R\,y}\) ?

JK

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Kalkulatorek » 8 lis 2017, o 20:43

Wyszło mi, że \(\displaystyle{ x}\) jest wnukiem \(\displaystyle{ y}\).

Poza tym - pisząc "dziedzina" miałem na myśli poprzedniki par występujących w relacji.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Czym właściwie jest złożenie relacji?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 lis 2017, o 20:54

Kalkulatorek pisze:Wyszło mi, że \(\displaystyle{ x}\) jest wnukiem \(\displaystyle{ y}\).
No i zgadza się, a świadkiem jest rodzic, który jest też dzieckiem dziadka/babci.
Kalkulatorek pisze:Poza tym - pisząc "dziedzina" miałem na myśli poprzedniki par występujących w relacji.
No to mogło tak wyjść.

JK

ODPOWIEDZ