obliczyć całkę

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Pasjonatka91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 5 sty 2016, o 23:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

obliczyć całkę

Post autor: Pasjonatka91 » 8 lis 2017, o 14:11

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } |x|^p e^{-\frac{x^2}{2}} dx}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ p\ge 0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: obliczyć całkę

Post autor: Premislav » 8 lis 2017, o 14:50

Można skorzystać z parzystości funkcji podcałkowej, by otrzymać
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } |x|^p e^{-\frac{x^2}{2}} dx=2 \int_{0}^{\infty}x^p e^{- \frac{x^2}{2} }\,\dd x=2 \int_{0}^{+\infty}2^{\frac{p-1} 2}x\left( \frac{x^2}{2}\right)^{\frac {p-1} 2} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\dd x}\)
Następnie podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{x^2}{2}}\) daje nam:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{p+1}{2}} \int_{0}^{+\infty}t^{\frac {p-1} 2}e^{-t}\,\dd t=\\=2^{\frac{p+1}{2}}\Gamma\left( \frac{p+1}{2} \right)}\)

ODPOWIEDZ