charakteryzacja zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
foundofmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 3 sty 2017, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 4 razy

charakteryzacja zbiorów

Post autor: foundofmath » 7 lis 2017, o 19:50

\(\displaystyle{ X}\) - dowolny ustalony zbiór,
oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{P}^z}\) - zbiór potęgowy zbioru \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P^\mathcal{^P}}^X} \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge \forall x(\forall y( (x \in X\wedge y \in X\wedge (\neg x=y))\Rightarrow\exists A (A \in a \wedge x \in A\wedge y \in a) ) )}\)



Problem: Wyznacz możliwie prosto wszystkie zbiory \(\displaystyle{ \bigcap a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) spełnia powyższą formułę.



Nie widzę żadnej prostej charakteryzacji takich zbiorów.

PS. Jest dobrze przepisane, polecenie jest właśnie takie.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

charakteryzacja zbiorów

Post autor: leg14 » 7 lis 2017, o 19:57

Może spróbuj najpierw jednym zdaniem opisać własność zbioru a.

foundofmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 3 sty 2017, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 4 razy

charakteryzacja zbiorów

Post autor: foundofmath » 7 lis 2017, o 20:03

Eh, pomyliłem się w przepisywaniu (niewyraźny wydruk), przepraszam najmocniej. Teraz już na pewno OK:

\(\displaystyle{ X}\) - dowolny ustalony zbiór,
oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{P}^z}\) - zbiór potęgowy zbioru \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P^\mathcal{^P}}^X} \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge \\ \forall x(\forall y( (x \in X\wedge y \in X\wedge (\neg x=y))\Rightarrow\exists A (A \in a \wedge x \in A\wedge (\neg( y \in a))) ) )}\)



Problem: Wyznacz możliwie prosto wszystkie zbiory \(\displaystyle{ \bigcap a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) spełnia powyższą formułę.



Nie widzę żadnej prostej charakteryzacji takich zbiorów.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: charakteryzacja zbiorów

Post autor: leg14 » 7 lis 2017, o 20:11

Może spróbuj najpierw jednym zdaniem opisać własność zbioru a. (nie symbolami)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: charakteryzacja zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 20:14

Stosujesz niewygodny sposób zapisu.

Czy aby nie powinno być (zapiszę po swojemu):

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge (\forall x\in X)(\forall y\in X)(x\neq y\Rightarrow(\exists A\in a) (x \in A\wedge y \notin \red A\black) )}\)

(innymi słowy rodzina \(\displaystyle{ a}\) rozdziela punkty)?

JK

foundofmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 3 sty 2017, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 4 razy

Re: charakteryzacja zbiorów

Post autor: foundofmath » 7 lis 2017, o 20:27

Jan Kraszewski pisze: Czy aby nie powinno być (zapiszę po swojemu):

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge (\forall x\in X)(\forall y\in X)(x\neq y\Rightarrow(\exists A\in a) (x \in A\wedge y \notin \red A\black) )}\) ?
Niestety nie (to by uprościło znacznie sprawę, nawiasem mówiąc).
leg14 pisze:Może spróbuj najpierw jednym zdaniem opisać własność zbioru a. (nie symbolami)
Gdy \(\displaystyle{ X}\) ma mniej niż \(\displaystyle{ 2}\) elementy, to każda niepusta rodzina \(\displaystyle{ a}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) to spełnia; gdy \(\displaystyle{ X}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) elementy, to ten warunek mówi, że wszystkie elementy \(\displaystyle{ X}\) są elementami pewnych elementów (niepustej) rodziny \(\displaystyle{ a}\), lecz żaden element zbioru \(\displaystyle{ X}\) nie jest elementem rodziny \(\displaystyle{ a}\). Jednak nadal nie widzę jak można by te przecięcia scharakteryzować w miarę prosto.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: charakteryzacja zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 22:18

foundofmath pisze:
Jan Kraszewski pisze:Czy aby nie powinno być (zapiszę po swojemu):

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge (\forall x\in X)(\forall y\in X)(x\neq y\Rightarrow(\exists A\in a) (x \in A\wedge y \notin \red A\black) )}\) ?
Niestety nie (to by uprościło znacznie sprawę, nawiasem mówiąc).
To wygląda dość podejrzanie. W wersji

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge (\forall x\in X)(\forall y\in X)(x\neq y\Rightarrow(\exists A\in a) (x \in A\wedge y \notin a) )}\)

już składnia jest podejrzana, bo jest to de facto równoważne

\(\displaystyle{ a\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \setminus \left\{ \emptyset\right\} \wedge (\forall x\in X)(\forall y\in X)(x\neq y\Rightarrow y \notin a\land (\exists A\in a) x \in A )}\)

co zakładając, że \(\displaystyle{ X}\) ma przynajmniej dwa elementy oznacza dokładnie dwie rzeczy: że \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ a}\) są rozłączne oraz że \(\displaystyle{ X=\bigcup a}\). Co ma umiarkowany sens (i bardzo mocno zależy od \(\displaystyle{ X}\), o którym nic nie wiemy). I dlatego zakładałbym błąd w druku.

Skąd wytrzasnąłeś to zadanie?

JK

ODPOWIEDZ