Twierdzenie o 3 ciągach

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: NinjagoB » 7 lis 2017, o 19:41

Oblicz granicę korzystając z twierdzenia o 3 ciągach
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \sqrt{3} - \cos \frac{ \pi }{n} \right) ^{n}}\)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: Premislav » 7 lis 2017, o 19:54

Łatwo wykazać, że
\(\displaystyle{ 1\ge \cos x \ge 1-\frac{x^2}{2}}\) w dodatnich.
Zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-1+ \frac{\pi^2}{2n^2} \ge \sqrt{3}-\cos \frac{\pi}{n} \ge \sqrt{3}-1}\)

-- 7 lis 2017, o 20:59 --

Można inaczej, prościej: zauważmy, że ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\cos \frac{\pi}{n}}\) jest rosnący,
więc dla \(\displaystyle{ n \ge 6}\) mamy
\(\displaystyle{ 1\ge \cos \frac{\pi}{n} \ge \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) itd.

NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Re: Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: NinjagoB » 7 lis 2017, o 20:25

Dzięki, mam jeszcze jedno zadanie z którym nie mogę sobie poradzić, napiszę tu żeby nie zakładać nowego tematu (polecenie to samo)
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{n+1}{2n} \right) ^{n}}\)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Następnym razem załóż nowy wątek.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: leg14 » 7 lis 2017, o 20:47

Granica bedzie rowna zero - sprobuj ograniczyc to z gory przez ciag \(\displaystyle{ p^{n}}\) gdzie p jest mniejsze niz jeden

NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: NinjagoB » 7 lis 2017, o 20:56

No właśnie nie mam pomysłu na to ograniczenie, jeśli mianownik zapisze jako \(\displaystyle{ n}\), lub licznik jako \(\displaystyle{ n + n}\) to \(\displaystyle{ p}\) nie będzie mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Twierdzenie o 3 ciągach

Post autor: leg14 » 7 lis 2017, o 21:01

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\) to jest ostro mniejsze niz jeden.

ODPOWIEDZ