Własność wykazana z aksjomatów

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
forget24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 5 lis 2011, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Własność wykazana z aksjomatów

Post autor: forget24 » 7 lis 2017, o 17:04

Możemy spotkać się z aksjomatami liczb rzeczywistych z użyciem nierówności ostrej jak i nieostrej.
W przypadku tej drugiej aksjomaty porządku to:
\(\displaystyle{ \forall x,y,z \in \RR}\) zachodzi
\(\displaystyle{ x \le y \vee y \le x \\ x \le y \wedge y \le x \Rightarrow y=x \\ x \le y \wedge y \le z \Rightarrow x \le z \\ x \le y \Rightarrow x+z \le y+z \\ 0 \le x \wedge 0 \le y \Rightarrow 0 \le xy}\)

Wówczas, zadajemy \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow x \le y \wedge x \neq y}\).

Jak możemy otrzymać następującą własność:
\(\displaystyle{ x<y \wedge z>0 \Rightarrow xz<yz}\) ?

(w przypadku aksjomatyki z nierównością ostrą, powyższa własność jest jednym z aksjomatów)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 17:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Własność wykazana z aksjomatów

Post autor: Rozbitek » 7 lis 2017, o 17:40

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ z > 0 \wedge x < y}\), dla każdego \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ z}\) dodatnie rzeczywiste.

Wówczas z aksjomatu:
\(\displaystyle{ x \le y \Rightarrow x+z \le y+z}\)
wynika, że:
\(\displaystyle{ x - y \ge 0}\) i \(\displaystyle{ z \ge 0}\).
Teraz korzystając z aksjomatu:
\(\displaystyle{ 0 \le x \wedge 0 \le y \Rightarrow 0 \le xy}\)
możemy powiedzieć, że:
\(\displaystyle{ x-y \ge 0 \wedge z \ge 0 \Rightarrow 0 \ge z(x-y)}\)

Tutaj musimy skorzystać z aksjomatu liczb rzeczywistych, którego nie przedstawiłeś (bo nie jest aksjomatem porządku), a mianowicie z rozdzielności mnożenia względem dodawania, pozwolę sobie go nie przedstawiać, zastosowanie będzie trywialne:
\(\displaystyle{ x-y \ge 0 \wedge z \ge 0 \Rightarrow 0 \ge zx-zy}\)

Korzystając ponownie z aksjomatu:
\(\displaystyle{ x \le y \Rightarrow x+z \le y+z}\)
dostajemy:
\(\displaystyle{ yz \ge xz}\).

Więc korzystając z: \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow x \le y \wedge x \neq y}\), możemy stwierdzić, że prawdą jest:

\(\displaystyle{ yz > xz}\), gdy \(\displaystyle{ yz \neq xz}\).

Teraz wypadłoby jeszcze udowodnić, że \(\displaystyle{ yz \neq xz}\) to prawda. Poradzisz sobie mając powyższą zależność?

forget24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 5 lis 2011, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Własność wykazana z aksjomatów

Post autor: forget24 » 7 lis 2017, o 18:34

Tak, bardzo dziękuję.

ODPOWIEDZ