Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Freezend
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 lis 2017, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: Freezend » 7 lis 2017, o 10:31

Mógłby ktoś to rozwiązać lub wytłumaczyć w jaki sposób to zrobić?

Zadanie 1: Przedstawić na płaszczyźnie zespolone liczby: \(\displaystyle{ e^{ \pi i}, e^{ \frac{ \pi }{2} i}, e^{ \frac{3}{2} \pi i}, e^{2k \pi i}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)

Zadanie 2: Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej (tam gdzie nie nastręcza to zbyt wielu rachunków):
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}, \sqrt[6]{-1}, \sqrt[3]{-27}, \sqrt[9]{-8i}, \sqrt[4]{-2+2 \sqrt{3i} }}\)
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 11:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6601
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: janusz47 » 7 lis 2017, o 10:49

A mógłbyś przejawić trochę swojej własnej inicjatywy, pracy i przedstawić swoje własne rozwiązania.

Popatrzymy, doradzimy, poprawimy.

Freezend
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 lis 2017, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: Freezend » 7 lis 2017, o 10:57

Przy zadaniach, które wiem jak rozwiązywać bym się pomęczył aż w końcu wyszedłby mi poprawny wynik. Problem w tym, że nie wiem jak to obliczyć. Potrafię zamienić liczbę zespoloną z postaci algebraicznej na postać wykładniczą, ale nie mam pojęcia jak zrobić to w drugą stronę.

----

Okej, chyba znalazłem wzór potrzebny do 2 zadania:
\(\displaystyle{ W_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) +i\sin \left( \frac{\psi+2k\pi}{n} \right) \right)}\)
Poproszę tylko o jakąś pomoc w przypadku pierwszego.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: PoweredDragon » 7 lis 2017, o 11:44

\(\displaystyle{ e^{ \alpha i} = \cos \alpha + i \sin \alpha}\)

Freezend
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 lis 2017, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

Re: Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: Freezend » 7 lis 2017, o 12:05

Dzięki wielkie, działa

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6601
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1427 razy

Pierwiastki liczb ujemnych i postać wykładnicza

Post autor: janusz47 » 7 lis 2017, o 16:36

Zadanie 1

Z definicji postaci wykładniczej liczby zespolonej wynika, że liczba \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1.}\) Przebiegając wszystkie wartości \(\displaystyle{ \phi}\)- przebiegamy wszystkie liczby o module \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ \textbf C.}\)

Geometrycznie liczby te tworzą okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1.}\)

Wzór ten daje nam podstawową własność symbolu Eulera:

\(\displaystyle{ e^{i\phi}\cdot e^{i\psi} = e^{i(\phi +\psi)}}\)

Z niego wynikają inne pożyteczne wzory:

\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{n} = e^{in\phi}.}\)

\(\displaystyle{ (e^{i\phi})^{-1} = e^{-i\phi}.}\)

\(\displaystyle{ \overline{e^{i\phi}}= e^{-i\phi}.}\)

ODPOWIEDZ