Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
hwite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 7 lis 2017, o 00:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: hwite » 7 lis 2017, o 00:51

\(\displaystyle{ x^{7}+3x^{5}+1=0}\)

Czy wielomian ma rozwiązania i jeżeli ma to jakie.
Nie da się pogrupować, nic wyłączyć przed nawias, ani nic. Może jakoś wzorem skróconego mnożenia, ale nie widzę.

EDIT: Czy ma rozwiązania rzeczywiste, powinno być.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 15:40 przez hwite, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: Premislav » 7 lis 2017, o 01:30

W jakim kontekście pojawiła się potrzeba rozważenia czegoś takiego? To równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste (jest ono gdzieś w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\)), co wynika z tw. Darboux i z analizy znaku pochodnej. Bardzo jednak wątpię, by dało się to jakkolwiek sensownie wyznaczyć, pozostaje przybliżenie z użyciem komputera. Mnie się to skojarzyło tak:
https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%8 ... ni_theorem

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: Rozbitek » 7 lis 2017, o 15:25

\(\displaystyle{ x^5(x^2 + 3) = -1}\)
jako, że niemożliwym jest, aby \(\displaystyle{ x = 0}\), zrobię coś nieładnego:
\(\displaystyle{ x^2 + 3 = \frac{-1}{x^5}}\)
\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
Co jest niemożliwe.

Więc nie wiem gdzie zrobiłem błąd, ale mi wychodzi, że nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: Premislav » 7 lis 2017, o 15:29

\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
Co jest niemożliwe.
A to niby czemu? Nie uzasadniłeś tego w żaden sposób.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{7}+3x^{5}+1}\) jako funkcja wielomianowa jest ciągłą, a więc ma własność Darboux, ponadto \(\displaystyle{ f(-1)=-3<0}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=1>0}\). Zatem w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x_0}\), że \(\displaystyle{ f(x_0)=0}\).

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: Rozbitek » 7 lis 2017, o 15:33

Widzę, to tak:\(\displaystyle{ (x^2 + 3) - \frac{1}{x^5} = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 - \frac{1}{x^5} = -3}\)

\(\displaystyle{ x^2 \ge 0, \frac{1}{x^5} \ge -1}\)
W związku z czym jest to niemożliwe.

EDIT: Widzę błąd. Nie wziąłem pod uwagę, że \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Sorry.

hwite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 7 lis 2017, o 00:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: hwite » 7 lis 2017, o 15:39

Zadanie pojawiło się na pierwszych ćwiczeniach z analizy, przy liście zadań z logiki i teorii mnogości.
Zadanie brzmiało określ prawdziwość zdań i jeden z podpunktów brzmiał:
"równanie -||- ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste"

Rzecz w tym że pominęliśmy ten podpunkt bo początkowe były łatwe,
a kiedy przyjrzałem się zadaniu to okazało się że nie potrafię go rozwiązać.

Przytoczonych twierdzeń nie znam, ale z racji że wystarczy stwierdzić czy istnieje rozwiązanie to tw. Darboux powinno wystarczyć.

Po prostu dla siebie chciałem wiedzieć jak to rozwiązać, ale jeśli musi się to sprowadzać do metod numerycznych to trudno. WolframAlpha mówi że \(\displaystyle{ x_{0} \approx -0,774}\)

Dzięki za pomoc.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Rozwiązanie wielomianu siódmego stopnia

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 18:16

To, że ma tylko jedno rozwiązanie jest akurat proste - ta funkcja jest ściśle rosnąca jako suma funkcji ściśle rosnących.

JK

ODPOWIEDZ