Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Kalkulatorek » 6 lis 2017, o 19:54

Witam,

Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ (\forall A)(A = \bigcup P(A))}\)
Wpadłem na pomysł, żeby rozwiązać to zadanie z aksjomatu ekstensjonalności. Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \in A \iff \{x\} \subseteq A \iff \{x\} \in P(A) \iff (\exists X)(X \in P(A) \land x\in X) \iff x\in \bigcup P(A)}\)
Pytanie mam takie - czy wszystkie równoważności są uzasadnione, czy może gdzieś powinna być implikacja?
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 20:07 przez Kalkulatorek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Premislav » 6 lis 2017, o 20:05

\(\displaystyle{ x \in A \iff {x} \subseteq A}\)
Ojej, nie. To jest zupełnie źle.

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Kalkulatorek » 6 lis 2017, o 20:06

Premislav pisze:
\(\displaystyle{ x \in A \iff {x} \subseteq A}\)
Ojej, nie. To jest zupełnie źle.
Nie wyświetliły mi się klamry, źle napisałem kod

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Premislav » 6 lis 2017, o 20:15

Aha.
\(\displaystyle{ \{x\} \in P(A) \iff (\exists X)(X \in P(A) \land x\in X)}\)
Tutaj powinna być tylko implikacja w jedną stronę (w prawą).-- 6 lis 2017, o 21:20 --Pokazałeś zatem, że
\(\displaystyle{ A\subset \bigcup P(A)}\)
Proponuję w drugą stronę: jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup P(A)}\), to istnieje taki \(\displaystyle{ X \in P(A)}\), że \(\displaystyle{ x \in X}\), a skoro \(\displaystyle{ X\in P(A)}\), to \(\displaystyle{ X\subset A}\), więc jako że
\(\displaystyle{ x\in X}\), to także \(\displaystyle{ x \in A}\).
Chociaż tak naprawdę to nie, ja się za bardzo czepiam, można i wstawić tam tę równoważność, tylko to jeszcze wymaga komentarza.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27294
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Jan Kraszewski » 6 lis 2017, o 22:34

Premislav pisze:Pokazałeś zatem, że
\(\displaystyle{ A\subset \bigcup P(A)}\)
Strasznie zawikłany ten dowód.

Przecież \(\displaystyle{ A\in P(A)}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to z definicji sumy \(\displaystyle{ x\in \bigcup P(A)}\).

JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 823
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Jakub Gurak » 6 lis 2017, o 23:30

Można jeszcze prościej.

\(\displaystyle{ A \supset \bigcup P(A)}\)- suma rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ A}\), musi być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\). Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny. A u nas \(\displaystyle{ A\in P\left( A\right)}\), wobec czego \(\displaystyle{ A \subset \bigcup P(A)}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27294
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Jan Kraszewski » 6 lis 2017, o 23:43

Jakub Gurak pisze:\(\displaystyle{ A \supset \bigcup P(A)}\)- suma rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ A}\), musi być podzbiorem \(\displaystyle{ A}\).
To jest dokładnie to, co pokazał Premislav.
Jakub Gurak pisze:Z drugiej jednak strony, suma rodziny zbiorów jest nadzbiorem każdego zbioru tej rodziny. A u nas \(\displaystyle{ A\in P\left( A\right)}\), wobec czego \(\displaystyle{ A \subset \bigcup P(A)}\).
A to jest dokładnie to, co napisałem powyżej.

JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 823
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

Re: Każdy zbiór jest równy sumie zbioru potęgowego - dowód

Post autor: Jakub Gurak » 7 lis 2017, o 01:20

Tylko, że zrobiłem bez rozpiski. A to są podstawowe własności sumy, więc chyba można z nich skorzystać bez rozpisywania...

ODPOWIEDZ