Badanie zbieżności ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
adda16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 paź 2017, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy

Badanie zbieżności ciągu

Post autor: adda16 » 6 lis 2017, o 18:35

Muszę zbadać zbieżność ciągu

\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[n]{ \sum_{k=1}^{n} \left( 2- \frac{1}{k} \right) ^{k} }}\)

Nie wiem jak to zrobić. Wiem tyle, że ta suma będzie dodatnia, ale nie wiem jak bardzo duża będzie. Może da się ją jakoś uprościć?
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Badanie zbieżności ciągu

Post autor: Premislav » 6 lis 2017, o 19:02

Oczywiście dla dużych \(\displaystyle{ n}\) w tej sumie najbardziej znaczącym jest wyraz
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\). Oszacuj:
\(\displaystyle{ \left( 2-\frac 1 n\right)^n\le \sum_{k=1}^{n}(2- \frac{1}{k})^{k}\le n\cdot \left( 2-\frac 1 n\right)^n}\),
wstaw te pierwiastki (formalnie to \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[n]{x}}\) określona dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest rosnąca), zastosuj tw. o trzech ciągach.

ODPOWIEDZ