Dowodzenie inkluzji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 14:32

Jan Kraszewski pisze:No cóż, ciężko rozwiązywać zadania nie znając definicji: https://pl.wikipedia.org/wiki/Suma_zbio ... e_formalne. Masz tam też definicję sumy uogólnionej.
JK
Teraz rozumiem swój błąd, czyli \(\displaystyle{ x}\) należy do jakiegoś \(\displaystyle{ A'}\) który należy do \(\displaystyle{ A}\), tak samo z \(\displaystyle{ y}\) które należy do \(\displaystyle{ B'}\) które należy do \(\displaystyle{ B}\).
Czy po tym elemencie powinienem zająć się prawą stroną? Czy da się coś jeszcze zrobić w tym miejscu?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 15:51

hack2yrjoy pisze:Teraz rozumiem swój błąd, czyli \(\displaystyle{ x}\) należy do jakiegoś \(\displaystyle{ A'}\) który należy do \(\displaystyle{ A}\), tak samo z \(\displaystyle{ y}\) które należy do \(\displaystyle{ B'}\) które należy do \(\displaystyle{ B}\).
Zgadza się.
hack2yrjoy pisze:Czy po tym elemencie powinienem zająć się prawą stroną? Czy da się coś jeszcze zrobić w tym miejscu?
Da się zrobić - przecież pokazujesz zawieranie, więc musisz dojść do prawej strony ciągiem wynikań.

Skoro \(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in...}\). Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 16:13

Jan Kraszewski pisze: Skoro \(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in...}\). Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...
\(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in A' \times B'}\) Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...zatem udowodniłem to? bo tak chyba na to wychodzi

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 17:13

hack2yrjoy pisze:\(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ y\in B'}\), to \(\displaystyle{ (x,y)\in A' \times B'}\) Ponadto \(\displaystyle{ A'\in A}\) i \(\displaystyle{ B'\in B}\) zatem...
...\(\displaystyle{ A' \times B'\in \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\), czyli z definicji sumy uogólnionej mamy \(\displaystyle{ (x,y)\in\bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\), co kończy dowód zawierania.

Teraz w drugą stronę.

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 17:41

Nie do końca rozumiem jak z tego kroku:
Jan Kraszewski pisze: \(\displaystyle{ A' \times B'\in \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)

Doszliśmy do następującego:
Jan Kraszewski pisze: czyli z definicji sumy uogólnionej mamy \(\displaystyle{ (x,y)\in\bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\), co kończy dowód zawierania.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 17:58

Wiesz, że \(\displaystyle{ (x,y)\in A' \times B'}\) i \(\displaystyle{ A' \times B'\in \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\). Przyjrzyj się definicji \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\).

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 19:05

Już rozumiem, czyli następnie muszę udowodnić że: \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \black\right\}.}\) zawiera w sobię \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right)}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 19:37

Nie, to właśnie pokazałeś. Musisz udowodnić, że \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \black\right\}}\) zawiera się w \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right)}\).

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 19:48

Jan Kraszewski pisze:Nie, to właśnie pokazałeś. Musisz udowodnić, że \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \black\right\}}\) zawiera się w \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right)}\).

JK
No i nie do końca to rozumiem, bo przecież to lewa strona ma zawierać się w prawej, dlaczego teraz prawa ma zawierać się w lewej? To brzmi jakbym chciał udowodnić że obie strony są sobie równe.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 20:00

A, masz rację. W zadaniu masz tylko jedno zawieranie, które właśnie uzasadniliśmy. Natomiast tak naprawdę te zbiory równe (co jednak nie jest przedmiotem Twojego zadania).

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 20:04

Jan Kraszewski pisze:A, masz rację. W zadaniu masz tylko jedno zawieranie, które właśnie uzasadniliśmy. Natomiast tak naprawdę te zbiory równe (co jednak nie jest przedmiotem Twojego zadania).

JK
Heh, po ciężkich trudach z moją "inteligencją" się udało, dziękuje! Jest Pan wielki

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 20:06

Możesz spróbować jako zadanie dodatkowe uzasadnić to drugie zawieranie.

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 20:08

Jan Kraszewski pisze:Możesz spróbować jako zadanie dodatkowe uzasadnić to drugie zawieranie.

JK
Spróbuję, choć już prywatnie, bo z pewniością ma mnie pan już dość

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 20:18

E tam, po tylu latach uczenia studentów nabyłem niezbędną odporność.

JK

ODPOWIEDZ