Dowodzenie inkluzji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 6 lis 2017, o 18:01

Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory, wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in A \right\}}\)

Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak? Bo elementy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami które należą do \(\displaystyle{ A}\), no a iloczyn kartezjański tworzy pary uporządkowane.

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 18:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \bigcup.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 6 lis 2017, o 18:18

Masz literówkę, powinno być

\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in \red B \black\right\}.}\)
hack2yrjoy pisze:Nie wiem w ogóle, jak miałaby wyglądać suma zbioru po prawej stronie, bo elementami będzie para uporządkowana zbiorów, tak?
Nie. Masz

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)

gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 6 lis 2017, o 18:36

Jan Kraszewski pisze: Nie. Masz

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\} \Leftrightarrow (\exists X\in A)(\exists Y\in B)\left\langle a,b\right\rangle\in X\times Y,}\)

gdzie nie wiemy, czym są \(\displaystyle{ a,b}\) (tzn. nie znamy ich charakteru - mogą to być zbiory, mogą inne obiekty). To zależy, czym są elementy zbiorów należących do rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\).
No dobrze, ale ja iloczyn kartezjański mam na tych zbiorach należących do \(\displaystyle{ S}\). Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), więc para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak: \(\displaystyle{ (\{e,f\},\{g,h,i\})}\)?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 6 lis 2017, o 18:42

Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?

Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 6 lis 2017, o 18:52

Jan Kraszewski pisze:Co to jest \(\displaystyle{ S}\)? Co to znaczy "para uporządkowana po wykonaniu iloczynu wyglądałby tak"?

Para to para, iloczyn to iloczyn, nie myl tych pojęć. Jeśli \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\), to istotnie \(\displaystyle{ \left( \{e,f\}, \{g,h,i\}\right) \in S\times S}\). I tyle.

JK
Racja, źle to ująłem. Tyle że no właśnie te elementy X i Y będą chyba takimi zbiorami, ponieważ jak napisałem na początku to mam narzucone z góry.
hack2yrjoy pisze:Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory
Czyli właśnie takie elementy jakie dałem w przykładzie.
hack2yrjoy pisze:Bo dajmy przykład, że: \(\displaystyle{ \{e,f\} \in S, \{g,h,i\} \in S}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 6 lis 2017, o 22:37

No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).

JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 822
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jakub Gurak » 7 lis 2017, o 00:35

hack2yrjoy pisze:Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
Spróbuję.
Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory
- czyli masz dwie rodziny zbiorów.
wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)
Czyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 10:49

Jakub Gurak pisze:
hack2yrjoy pisze:Byłbym wdzięczny, jakby ktoś chciał pomóc mi w zrozumieniu, nie do końca rozwiązaniu, dziękuje
Spróbuję.
Załóżmy, że mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) których elementami są zbiory
- czyli masz dwie rodziny zbiorów.
wtedy:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \subseteq \bigcup \left\{ X\times Y: X \in A, Y \in B \right\}}\)
Czyli, zbiór będący sumą pierwszej rodziny zbiorów ( czyli \(\displaystyle{ \left( \bigcup A \right)}\)) pomnożony kartezjańsko przez zbiór będący sumą drugiej rodziny, taki iloczyn kartezjański ma się zawierać w sumie wszystkich iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ X \times Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem z pierwszej rodziny, \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem z drugiej rodziny.
Teraz lepiej to rozumiem, dziękuje
Jan Kraszewski pisze:No dobrze, ale dalej nie wiem, z czym masz problem. I dalej nie napisałeś, co to jest \(\displaystyle{ S}\).
Zbiór \(\displaystyle{ S}\) wymyśliłem na szybko żeby pokazać czy go dobrze rozumiem zagadnienie
To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 11:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 11:41

hack2yrjoy pisze:To teraz kolejny problem, jak dobrze zacząć ten dowód, jakieś założenie jak np: \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right)}\) ?
Pokaż dwa zawierania. Tak jak wyżej możesz zacząć dowód zawierania \(\displaystyle{ \subseteq}\). Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego, potem dwa razy z def. sumy uogólnionej, a potem popatrz, co dostałeś, a czego potrzebujesz, by zakończyć dowód. Może to prawie to samo?

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 11:47

Jan Kraszewski pisze: Teraz skorzystaj z definicji iloczynu kartezjańskiego
W sensie coś jak:\(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in \left( \bigcup A \right) \times \left( \bigcup B \right) \right) \Rightarrow x \in \bigcup A \wedge y \in \bigcup B}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 11:49

Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 11:56

Jan Kraszewski pisze:Tak, ale zamiast znaczków lepiej pisz to słowami.
Dobrze, a czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ (\bigcup A)}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 11:57

hack2yrjoy pisze:czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?
No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?

JK

hack2yrjoy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2017, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 4 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: hack2yrjoy » 7 lis 2017, o 12:01

Jan Kraszewski pisze:
hack2yrjoy pisze:czy mogę teraz założyć że skoro \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcup A}\) to należy też do \(\displaystyle{ A}\) ?
No skąd! Znasz definicję sumy uogólnionej?
JK
Jak widać niezbyt, chyba potrzebuje wyjaśnienia

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Dowodzenie inkluzji

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 12:54

No cóż, ciężko rozwiązywać zadania nie znając definicji: https://pl.wikipedia.org/wiki/Suma_zbio ... e_formalne. Masz tam też definicję sumy uogólnionej.

JK

ODPOWIEDZ