Rzędy grup homeomorficznych

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Rzędy grup homeomorficznych

Post autor: Wiesiek7 » 6 lis 2017, o 17:18

Niech \(\displaystyle{ f:G \rightarrow F}\) będzie homeomorfizmem grup i \(\displaystyle{ a \in G}\) Wykazać, że \(\displaystyle{ o(f(a))|o(a)}\) i jeżeli \(\displaystyle{ <a> \cap kerf=\left\{ e\right\}}\) to \(\displaystyle{ o(f(a))=o(a)}\).

Proszę o pomoc

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Rzędy grup homeomorficznych

Post autor: Pakro » 6 lis 2017, o 21:29

Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ o \left( a \right) =n}\). Wówczas \(\displaystyle{ f \left( a^n \right) =f \left( e \right) =e}\), Zatem \(\displaystyle{ o \left( f \left( a \right) \right) \le o \left( a \right)}\). Ponadto \(\displaystyle{ f^{-1} \left( \left\langle f \left( a \right) \right\rangle \right)}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ \left\langle a \right\rangle}\), zatem z tw. Lagrangea \(\displaystyle{ o \left( f \left( a \right) \right) | o \left( a \right)}\). Ponadto skoro \(\displaystyle{ ker \left( f \right) \cap \left\langle a \right\rangle= \left\{ e \right\}}\) to nie istnieje \(\displaystyle{ m<n}\), że \(\displaystyle{ f \left( a \right) ^m=e}\). Bo wówczas \(\displaystyle{ a^m \in ker \left( f \right)}\) zatem \(\displaystyle{ o \left( f \left( a \right) \right) = o \left( a \right)}\)

Nie jest to całkowicie rozpisany dowód ale może pomoże.
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 22:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.

ODPOWIEDZ