Znajdź kresy zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Znajdź kresy zbioru

Post autor: Maslow » 6 lis 2017, o 17:05

Znajdź kresy zbioru:

\(\displaystyle{ \left\{ \sum_{k=1}^{n} \frac{ x_{k} }{ x_{k}+ x_{k+1}}: x_{k}>0; x_{n+1}= x_{1} \right\}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Znajdź kresy zbioru

Post autor: Premislav » 6 lis 2017, o 18:48

Kres górny to po prostu \(\displaystyle{ +\infty}\), rozważ np. \(\displaystyle{ x_1=x_2=\ldots=x_n=1}\) i \(\displaystyle{ n\rightarrow+\infty}\)
Co do kresu dolnego, rozważyłem
\(\displaystyle{ x_k= n^{2k}, \ k=1\ldots n}\), wówczas mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{ x_{k} }{ x_{k}+ x_{k+1}}=\overbrace{\frac{1}{1+n^2}+\ldots+\frac{1}{1+n^2}}^{n-1}+ \frac{n^{2n}}{n^{2n}+n^2}=\frac{n-1}{1+n^2}+\frac{n^{2n}}{n^{2n}+n^2}}\) co oczywiście ma granicę \(\displaystyle{ 1}\).
Okej, to teraz jakieś ogólne szacowanie z dołu (nie miałem prostego pomysłu, więc jeśli tego nie znasz to trudno, wymyśl sama coś prostszego, student ma studiować, a ja nie jestem pomysłowy, bo nie mam odpowiednich predyspozycji):
bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k=1}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(t)= \frac 1 t}\) jest wypukła dla \(\displaystyle{ t>0}\), zatem z nierówności Jensena mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{ x_{k} }{ x_{k}+ x_{k+1}} \ge \left( \sum_{k=1}^{n}x_k^2+ \sum_{k=1}^{n}x_k x_{k+1} \right)^{-1}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^{n}x_k^2+ \sum_{k=1}^{n}x_k x_{k+1} \right)^{-1}>1=\left( \sum_{k=1}^{n}x_k \right)^{-2}}\).

Zatem ten zbiór ma ograniczenie dolne \(\displaystyle{ 1}\) i większego już nie będzie, co uzasadnia podanie tego ciągu jak wyżej.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Znajdź kresy zbioru

Post autor: Dasio11 » 7 lis 2017, o 20:09

Ciekawiej by było, gdyby \(\displaystyle{ n}\) było ustalone.

ODPOWIEDZ