Matematyka.pl

Czy można zdefiniować parę uporządkowaną w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \left( x,y\right)=\left\{ \left\{ x\right\},y \right\}}\) ?

Sprawdź, czy dla takiej definicji prawdziwa jest własność \(\displaystyle{ (x,y)=(x',y')\iff\left( x=x' \wedge y=y'\right)}\)

Jeśli tak będzie, to taka definicja będzie sensowna, gdyż operując na parach uporządkowanych korzysta się głównie z tej własności. A ogólnie to każdy może sobie zdefiniować wszystko jak mu się tam podoba, tylko pytanie, czy będzie to zgodne z intuicją i powszechnie przyjętymi definicjami.

Myślałem że to będzie sensowne utożsamiać poprzednik pary uporządkowanej ze zbiorem a następnik z elementem i zbiorowi dać pierwszeństwo.

-- 6 lis 2017, o 18:04 --

Ale ta definicja nie działa na sumach i iloczynach uogólnionych.
Nie rozumiem dlaczego iloczyn uogólniony par uporządkowanych\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) równa się \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) i dlaczego suma uogólniona równa się \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\)-- 6 lis 2017, o 18:16 --Mam na myśli definicję:\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x,\right\}\left\{x,y \right\}\right\}}\)

login1977 pisze:Mam na myśli definicję:\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\}\red,\black\left\{x,y \right\}\right\}}\)

No to jest klasyczna definicja Kuratowskiego. Co wg Ciebie jest z nią nie tak?

JK

Nie rozumiem dlaczego iloczyn uogólniony par uporządkowanych\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) równa się \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) i dlaczego suma uogólniona równa się\(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\)
W wyniku tych operacji powinny wyjść pary uporządkowane.

login1977 pisze:Nie rozumiem dlaczego iloczyn uogólniony par uporządkowanych\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) równa się \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) i dlaczego suma uogólniona równa się\(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\)

Nie do końca rozumiem, o co Ci chodzi. Mógłbyś to jakoś sformalizować?

JK

Ja się domyślam, że chodzi o iloczyn (mnogościowy) pary uporządkowanej jako zbioru, czyli \(\displaystyle{ \bigcap\{\{x,y\},\{x\}\}}\)

\(\displaystyle{ \bigcap_{}^{}\left\{ \left\{ x\right\},\left\{ x,y\right\} \right\}=\left\{ x\right\}}\).
Czyli \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{} \left( x,y\right)=\left\{ x\right\}}\)

login1977 pisze:Czyli \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{} \left( x,y\right)=\left\{ x\right\}}\)

No dobrze. I co z tego?

JK

Jak uogólniony iloczyn par uporządkowanych może być równy zbiorowi do którego należy tylko poprzednik.

To NIE JEST uogólniony iloczyn par uporządkowanych, tylko uogólniony iloczyn pary uporządkowanej, a to zupełnie co innego.

Zresztą rozważanie uogólnionego iloczynu pary uporządkowanej nie ma matematycznego sensu.

JK

Natknąłem się na to w książce Iana Stewarta pt.: Podstawy matematyki no i nie bardzo rozumiem o co chodzi w iloczynie uogólnionym pary.
A czy ta podana przeze mnie definicja jest sensowna?-- 6 lis 2017, o 19:45 --\(\displaystyle{ \left( x, y\right)=\left\{ \left\{ x\right\}, y\right\}}\)

login1977 pisze:Natknąłem się na to w książce Iana Stewarta pt.: Podstawy matematyki no i nie bardzo rozumiem o co chodzi w iloczynie uogólnionym pary.

Iloczyn uogólniony pary ma wyłącznie sens formalny, w zwykłej matematyce nie ma to sensu. Może coś niedokładnie zacytowałeś?

login1977 pisze:A czy ta podana przeze mnie definicja jest sensowna?

To jest klasyczna definicja. trzeba jednak mieć świadomość, że używa się jej w zasadzie tylko w teorii mnogości. Poza tą dziedziną nie ma potrzeby formalnego definiowania pary uporządkowanej.

JK

Chodzi mi o tą definicję: \(\displaystyle{ \left( x,y\right)=\left\{ \left\{ x\right\},y \right\}}\) a nie Kuratowskiego.
Czy może są one równoważne?-- 6 lis 2017, o 20:16 --O definicję Kuratowskiego chodziło mi jedynie odnośnie iloczynów i sum uogólnionych pary uporządkowanej.

\(\displaystyle{ (2, \{ 3 \}) = \{ \{2 \}, \{ 3 \} \} = (3, \{ 2 \})}\) więc definicja nie jest dobra.