Liga Zadaniowa

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
caarolina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 lut 2013, o 14:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Liga Zadaniowa

Post autor: caarolina » 6 lis 2017, o 13:18

Oblicz, ile jest równy podany iloczyn oraz oblicz sumę cyfr tego iloczynu

a) \(\displaystyle{ (66...6) \cdot (33...3)}\) (każda liczba składa sie z \(\displaystyle{ 10}\) cyfr)
b) \(\displaystyle{ (44...4) \cdot (55...5)}\) (pierwsza liczba składa się z \(\displaystyle{ 20}\) cyfr, a druga z \(\displaystyle{ 10}\) cyfr)

proszę o pomoc w rozwiązaniu, zupełnie nie mam pomysłu na to zadanie...
Ostatnio zmieniony 6 lis 2017, o 15:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7595
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3002 razy

Liga Zadaniowa

Post autor: kerajs » 6 lis 2017, o 14:28

caarolina pisze:Oblicz, ile jest równy podany iloczyn oraz oblicz sumę cyfr tego iloczynu
a) \(\displaystyle{ (66...6) \cdot (33...3)}\) (każda liczba składa sie z 10 cyfr)
\(\displaystyle{ ...=\left[ \frac{2}{3}\left( 10^{10}-1\right) \right] \cdot \left[ \frac{1}{3}\left( 10^{10}-1\right) \right]= \frac{2}{9}\left( 10^{20}-2 \cdot 10^{10}+1\right) \right]=\\= \frac{2}{9}\left( 10^{20}-1\right) - \frac{4}{9}\left( 10^{10}-1\right) =\underbrace{22...2}_{20}-\underbrace{44...4}_{10}=\underbrace{22...2}_{9}1\underbrace{77...7}_{9}8}\)
caarolina pisze: b) \(\displaystyle{ (44...4) \cdot (55...5)}\) (pierwsza liczba składa się z \(\displaystyle{ 20}\) cyfr, a druga z \(\displaystyle{ 10}\) cyfr)
Tu chyba łatwiej jest mnożyć pisemnie. Można to odrobinę ułatwić tak:
\(\displaystyle{ \underbrace{44...4}_{20} \cdot \underbrace{55...5}_{10}=2 \cdot \underbrace{22...2}_{20} \cdot \underbrace{55...5}_{10}}\)
Skoro \(\displaystyle{ \underbrace{22...2}_{20} \cdot 5=\underbrace{11...1}_{20}0}\) to \(\displaystyle{ \underbrace{22...2}_{20} \cdot \underbrace{55...5}_{10}}\) da sumę dzięsięciu odpowiednio przesuniętych liczb \(\displaystyle{ \underbrace{11...1}_{20}0}\) czyli liczbę:
\(\displaystyle{ 123456790\underbrace{11...1}_{10}09876543210}\)
która pomnożona przez 2 da szukany wynik:
\(\displaystyle{ 246913580\underbrace{22...2}_{10}19753086420}\)

ODPOWIEDZ